6.4.Решение системы разностных уравнений
6.4.1. Определение дискретного и Z-преобразования. Дискретную функцию с периодом повторения Т можно аналитически описать следующим образом
,
(6.17)
где – порождаемая непрерывная функция;
– смещенная на nT дельта-функция.
Преобразование Лапласа для этой функции имеет вид :
(6.18)
Интеграл
,
(6.19)
поскольку подынтегральная функция
равна нулю во все моменты времени
,
а за время действия импульса
не успевает существенно измениться и
может быть вынесена за знак интеграла.
В этом случае получим:
. (6.20)
Преобразование (6.20) носит название дискретного преобразования Лапласа, D-преобразования.
Изображение
оригинала
является аналитической (трансцендентной)
функцией аргумента
.
Если в уравнении (6.20) произвести
подстановку
,
из которой следует, что
,
то получим следующее:
.
(6.21)
Преобразование (6.21) носит название Z-преобразования дискретной функции .
Обозначаются D и Z-преобразования следующим образом:
или
или
.
[Z]-преобразование однозначно связано с [D]-преобразованием, вытекает из него и получило большое распространение при исследовании импульсных САУ.
Определим [D] и [Z]-преобразования
единичной функции
:
(6.22)
Сумма полученной геометрической прогрессии равна
; (6.23)
(6.24)
Сумма ряда определяется формулой
(6.25)
т.е. Z-преобразованию единичной дискретной
функции соответствует ее D-преобразованию,
если в последнем произвести замену
.
Для многих регулярных функций D - преобразование и Z - преобразование рассчитаны по приведенным выше формулам и результаты сведены в табл. 6.1.
При пользовании таблицей следует
иметь в виду, что
.
Определению преобразований способствует знание их основных свойств, которые мы рассмотрим ниже.
Таблица 6.1
Z и D-преобразования функций времени
N п/п |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
Продолжение табл. 6.1 |
||||
10 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
6.4.2. Свойства [ D ] и [ Z ] – преобразований