§ 3. Определение расчетных усилий в балках методом линий влияния

Расчетные усилия в балках часто удобно определять методом линий влияния. Этот метод особенно целесообразен при нахождении усилий в балках от движущихся систем грузов, которые могут занимать различные положения на изучаемой конструкции, например, от веса тележек, перемещающихся по балкам крана.

Метод линий влияния принят при расчете не только балок, но и ферм, рамных конструкций и особенно при расчете мостовых, крановых и других инженерных сооружений.

Линия влияния выражает зависимость усилия (или деформации) в каком-либо заданном сечении балки или элементе фермы от положения груза на них. В практических расчетах их всегда строят от одного груза, равного единице, и после этого построения используют для определения усилий (или деформаций) в изучаемом сечении или элементе при любом заданном загружении от нескольких сосредоточенных сил или распределенных нагрузок.

Линии влияния опорной реакции в однопролетной балке с шарнирными опорами. Линия влияния опорной реакции балки выражает зависимость величины реакции от положения груза, равного единице, на балке.

Обозначим расстояние груза до левой опоры через х, пролет балки — через l (рис. 3,а).

Реакция

Реакция А определяется уравнением наклонной прямой

(рис. 3, 6):

при х=О А=1;

при х = l А=О;

Подобным же образом строится линия влияния реакции В

(рис. 3, 6).

Линии влияния изгибающего момента М. Лнния влияния изгибающего момента М выражает зависимость величины момента в заданном сечении от положения груза, равного единице, на балке.

Допустим, что груз находиться справа на расстоянии a от опоры (рис. 3, в).

При этом изгибающий момент равен

,

Где А – опорная реакция на левой опоре.

Рис. 3. К построению линии влияния опорных реакций и М в разных сечениях балки:

Цифрами на рис. д-з указаны наибольшие моменты в сечениях 0,5l; 0,4l и т. д.

Построим линию влияния момента М (рис. 3, в) из условия что

При х=0 Ма=1*а;

При х=l Ма = 0.

Так как было сделано предположение, что груз находиться справа от сечения а, то построенная прямая верна лиш на участке l ≥ a.

Допустим что груз находиться слева на расстоянии а от опоры.

Изгибающий момент целесообразно выразить в этом случае

через величину правой опорной реакции

Ма = В (l — а) = 1 —x/l (l — а),

где В — опорная реакция на правой опоре.

при х =О Мa=O; при х = l Ma= l—a

Так как было предположено, что груз находится слева от сечения а, то построенная прямая верна лишь на участке х≤а.

Линия влияния М, имеет форму треугольника, заштрихованного на рис. 3, в с вершиной в сечении а.

Если линия влияния строится для сечения l/2; то вертикальные отрезки, откладываемые на опорах, равны между собой и равны 1*l/2. Высота треугольника в этом случае равна 1*l/4(рис. 3, г).

Подобным образом линии влияния М строятся для разных сечений балки, например: 0,4l; 0,3l; 0,2l; 0,1l (рис. 3,д — з). Ординаты линий влияния М имеют размерность длины. Высоты треугольников равны 1 0,25l; 1 0,24l и т. д.

Линии влияния поперечной силы Q. Линия влияния поперечной силы Q выражает зависимость величины поперечной силы в заданном сечении а от положения груза, равного единице, на балке.

Допустим, что груз находится справа от сечения а (рис. 4, а)

Построим эту линию из условия, что

при х=0 Qa =1;

при х = l Qa = О.

Прямая верна на участке х ≥ а .

Допустим, что груз находится слева от сечения а. При этом

при x=O Qa=О; при х=l Q,= — 1.

Эта линия верна на участке х ≤ а, под исследуемым сечением она меняет знак.

Рис. 4. К построению линий влияния поперечных сил Q в балках.

Рис. 5. К построению линий влияния в балках: а) - в) – защемленной в стену;

Г) консольной.

Линии влияния Qа для сечений балки 0,5l; 04l; 0,3l; 0,2l; 0,1l и опорной реакции А показаны на рис. 4, б — ж. Ординаты линий влияния Qa безразмерны.

Рассмотрим, как строятся линии влияния М и Q для балки, защемленной в стену (рис. 5).

В сечении на свободном конце Мl и Ql всегда равны нулю, в каком бы месте ни находилась единичная сила на балке. Поэтому линии влияния для этого сечения являются нулевыми (рис. 5,а). В сечении на опоре M0 = — 1х, т. е. линия влияния имеет вид наклонной прямой. При х=0, т. е. когда сила находится в опорном сечении, Мо = 0; при x=l (груз на конце консоли) Мо= — 1l (рис 5,б).

Поперечная сила в опорном сечении Q0 = — 1, в каком бы сечении балки ни находился груз (рис. 5,в).

Использование линий влияния для oпределения усилий от системы сосредото

ч енных сил Р и равномерно распределенной нагрузки q. Построенной линией влия

ния пользуются для оп -ределения усилия в за-данном сечении балки от различной комбинации сосредоточенных и сплошных нагрузок.

Предположим, что для сечения на рас-стоянии а балки пост-роена линия влияния некоторого усилия R, имеющая вид показанный на рис. 6,а.

Балка нагружена сосредоточенными силами Р1, Р2, Рk. И равномерной нагрузкой q на участке l — а.

Ординаты линии влияния под силами Р1 Р2…Рк обозначим соот-ветственио у1, у2, уk.

Пользуясь принципом независимости действия сил, находим усилие в сечении

Усилие от равномерной нагрузки найдем, заменив сосредоточенную нагрузку бесконечно большим количеством бесконечно малых сосредоточенных сил

(2)

где Ω — площадь линии влияния на длине загруженного участка.

Полное усилие

(3)

R выражает собой продольную силу N, поперечную силу Q, момент М и т. д. в зависимости от построения линий влияния.

П р и м е р р а с ч е т а. Построить линию влияния момента М от единичной силы для 1/4 пролета балки l=16 м (рис. 6,б) и определить изгибающий момент в этом сечении от системы сил, изображенных на рис. 6, в.

Для построения линии влияния момента в сечении на расстоянии а следует отложить на опорах вертикальные отрезки, равные а=4 м и l — а=12 м и провести наклонные прямые, определяющие заштрихованный треугольник.

Находим

У1 = 12*2/16 = 1,5 м, у2 — 12*4/16 = 3,0 м, Ω=2*8/2 = 8,0 м².

Расчетное усилие (изгибающий момент) в сечении а

(рис. 6,в) равен

М= 3,0 * 1,5 — 2,0 * 3+ 1* 8,0 = 6,5 Т* м.

При расчете балок, нагруженных крановыми тележками, для определения наибольших изгибающих моментов и поперечных сил необходимо сначала построить линии влияния М и Q для поперечных сечений (0,1l; 0,2l и т. д.). Далее следует определить усилие от нагруженной тележки с учетом того, что она занимает на балке разные положения, при которых усилия в изучаемых сечениях (0,1l; 0,2l и т. д.) являются наибольшими.