§ 4. Расчет жесткости и прочности

Балка должна удовлетворять требованию жесткости, т. е. ее прогиб от наибольшей нагрузки не должен превышать предельно допускаемого. Обычно в балках предельная величина

отношений f_max /l (где f_max — стрела прогиба балки) регламентируется нормами. Норма жесткости f_max/l для балок разных назначений различна, например, в подкрановых балках она должна быть не более 1/600 ÷ 1/700, в главных балках междуэтажных перекрытий — около 1/400 и т. д.

Чтобы удовлетворить требованиям жесткости, балка заданной системы при определенном нагружении и заданных допу-

Рис. 7. К расчету сварной балки:

а) изогнутая ось балки от q; б) поперечное сечение балки;

в), г) влияние сосредоточенной силы, вызывающей напряжения

скаемых напряжениях должна иметь высоту не менее некоторой предельной. Эта предельная величина определяется формулой, приводимой ниже.

Рассмотрим, какова должна быть предельно наименьшая высота балки, свободно лежащей на двух опорах, если она нагружена равномерной нагрузкой (рис. 7, а).

Величина расчетного прогиба

где EJ — жесткость балки.

Для рассматриваемой балки величипа расчетного момснта равна

Подставляя значение М в формулу (4), получим

(5)

Величипа изгибающего момента может быть выражена через произведение допускаемого напряжения на момент сопротивления сечения

(6)

Если расчетное сечение симметрично относительно горизонтальной оси, то

где h — высота балки.

Подставив зпачеиие сИ из формулы (6) в формулу (5), получим

(7)

откуда

или

(8)

Высота балки, вычисленная по формуле (8), являгтся наименьшей при заданных и норме жесткости f/l и может быть увеличена, если это диктуется соображениями компановки конструкции или экономии металла. Она уменьшается при уменьшении величины . При других нагружениях и системах балок, например, консольных, многоопорных, с защемленными концами и т. п. в формуле (8) изменяется лишь численный коэффициент Например, при нагружении однопролетной балки с шарнирными опорами сосредоточенной силой Р в середипе пролета отношение будет следующим:

(8)

При действии моментов в двух плоскостях (вертикальной и горизонтальной) высота балки h определяется с учетом напряжения лишь от момента , а ширина балки b — с учетом напряжения от момента . Сумма должна быть . Соотношение между и устанавливается приближенно на основе имеющегося опыта проектирования конструкции или способом последовательного приближения. При этом задаются ожидаемыми отношениями / и затем проверяют их правильность повторными расчетами.

Балка должна удовлетворять прочности при условии наименьшего веса. Поперечное сечение должно быть в этих условиях минимальным.

Высота балки может быть найдена по формулам:

для двутаврового профиля

; (9)

для коробчатого профиля

(10)

где М — расчетный изгибающий момент балки;

S_B — толщина вертикального листа.

При проектировании балок величина S_B, в формуле (9) неизвестна. Поэтому ее первоначально задают. Для разных строительных конструкций S_B обычно изменяется в сравнительно узких пределах: в легких балках колеблется от 5 до 10 мм, в тяжелых — от 10 до 18 мм.

Высоты h, найденные по формулам, построенным с учетом требований достаточной жесткости [формула (8)] и прочности при условии наименьшего веса [формула (9)], могут оказаться совершенно различными. Из двух высот, вычисленных для балки двутаврового профиля по формулам (8) и (9), следует принять наибольшую величину, но во всяком случае не меньшую, чем высоту h, вычисленную по формуле (8).

Далее подбирают размеры поперечного сечения балки с учетом расчетного изгибающего момента М и высоты h.

Рассмотрим процесс подбора сечения двутаврового профиля (рис. 7, б) . Для этого найдем требуемый момент сопротивления

(11)

и требуемый момент инерции сечения

(12)

Вычислим момент инерции вертикального листа высотой h и толщиной S_B

(13)

(принимаем приближенно h_B=0,95h).

Находим требуемый момент инерции двух горизонтальных листов

(14)

В другой форме момент инерции выразится так:

, (15)

где J₀ — момент инерции горизонтального листа относительно

собственной оси, который всегда очень мал и приближенно может быть принят равным нулю;

h₁ — расстояние между центрами тяжести горизонтальных

листов, которое приближенно можно принять равным

0,95 ÷ 0,98h.

Из уравнения (15) находим требуемую площадь сечения

одного горизонтального листа

. (16)

Подобрав размеры поперечного сечения балки, определим величины напряжений и таким образом проверим, что подобранные размеры удовлетворяют условиям прочности.

Напряжение от изгиба равно

(17)

где J — момент инерции подобранного сечения. Касательное напряжение от поперечной силы будет

(18)

где Q — наибольшая поперечная сила балки;

S — статический момент полуплощади сечения (симметричного) относительно центра тяжести балки (рис. 7, г).

Эквивалентные напряжения проверяются обычно в тех случаях, когда максимальные значения М и Q совпадают в одном поперечном сечении. Их определяют на уровне верхней кромки вертикального листа

; (19)

нормальное напряжение

; (21)

касательное напряжение

, (20)

где S — статический момент площади - горизонтального пояса

относительно центра тяжести сечения балки.

В большинстве случаев эквивалентные напряжения оказываются меньше вычисленного по формуле (17).

При всех условиях расчетные напряжения , найденные по формуле (17), или вычисленные по формуле (16), не должны превышать 1,05 .

Сечение считается подобранным рационально, если

Допустим, что к верхнему поясу балки прикладывают сосредоточенные перемещающиеся грузы (рис. 7, в). Это имеет место в крановых, подкрановых и мостовых балках. При этом определяют прочность вертикального листа с учетом местного напряжения под грузом

(22)

где Р — величина сосредоточенного груза;

m — коэффициент, равный 1,5 при тяжелом режиме работы

балки (например, в металлургических цехах) и 1,0 при

легком режиме (напрнмер, в ремонтных);

z — условная длина, на которой сосредоточенный груз распределен в вертикальном листе (рнс. 7, в);

(23)

Здесь — момент ниерции горизонтального листа совместно

с приваренным к нему рельсом. (если- таковой имеется) относительно оси х_т, проходящей через них общий центр тяжести О' (рис. 7,г).