8. Оптимальный портфель ценных бумаг при безрисковых и рискованных вложениях (j. Tobin)

Ценные бумаги, входящие в портфель инвестора, можно разделить условно на две группы. В первую группу войдут ценные бумаги, имеющие малый риск и умеренную доходность. Во вторую группу войдут ценные бумаги, имеющие большую доходность и соответственно больший риск. Бумаги, имеющие малую доходность и больший риск, очевидно, не следует включать в портфель.

К безрисковым ценным бумагам условно можно отнести государственные ценные бумаги. В частности, на рынке США это вексель казначейства (US Treasury Bill), расписки казначейства (US Treasury Notes), бона казначейства (US Treasury bonds). В условиях 1990-х годов в России вряд ли какую-нибудь ценную бумагу можно считать безрисковой. Для этого периода следует использовать модель Г. Марковица (H. Markowitz), изложенную выше в п. 7. Учитывая тенденции к стабилизации экономики России в начале XXI века, следует рассчитывать на актуальность использования при оптимизации портфеля инвестора модели Тобина Д. (J. Tobin). Модели Г. Марковица (H. Markowitz) и Тобина Д. (J. Tobin) справедливы для стационарного рынка, в кризисных ситуациях они имеют ограниченный круг применения.

Тобин Д. рассмотрел следующую предельную ситуацию, когда инвестор выделяет x₀ денег на приобретение ценных бумаг с ожидаемой эффективностью r₀ и нулевым риском. Остальные 1-х₀ денег инвестор тратит на рискованные ценные бумаги с ожидаемой эффективностью m_i большей, чем эффективность безрисковых бумаг r₀, т.е. m_i> r₀ (i=1, 2,…, n).

Математическая постановка задачи следующая.

Требуется найти распределение средств инвестора х₀, х₁, х_2,…, х_n между безрисковыми и рискованными бумагами 1, 2, …, n такое, что выполняются следующие линейные ограничения:

(уравнение баланса) (8.1)

(фиксация ожидаемой суммарной эффективности от портфеля акций на уровне m_s) (8.2)

и минимизируется средний риск равный

(8.3)

В матричном виде условие задачи запишется для линейных ограничений:

1. Уравнение баланса

, (8.1')

где

‑ вектор столбец из 1;

‑ вектор столбец неизвестных;

I^* ‑ транспонированный столбец или строка из 1.

2. Суммарная эффективность портфеля m_s:

, (8.2')

где

‑ вектор столбец из эффективностей 1, 2, … n-ой ценной бумаги.

Минимизируемый риск равен квадратичной форме:

Ф(х)=х^*Vх, (8.3)

где

‑ ковариационная симметричная матрица nn.

Минимизируемая функция риска (8.3) или (8.3') включает только переменные х₁, х_2, х_n и не включает переменной х₀. Ограничения (8.1), (8.2) или (8.1'), (8.2') включает все переменные х₀, х₁, х_2, х_n. Удобно в ограничениях (8.1), (8.2) или (8.1'), (8.2') сразу избавится от переменной х₀. Умножая ограничение (8.1') на число r₀ и вычитая его из ограничения (8.2'), получим вместо двух ограничений одно ограничение содержащее только переменные х₁, х_2,… х_n.

(8.4)

Таким образом, задача оптимизации сводится к минимизации функции риска (8.3), (8.3') при одном ограничении (8.4).

Воспользуемся функцией Лагранжа для решения задачи

, (8.5)

где

 – множитель Лагранжа.

Минимум достигается в критической точке, в которой частные производные обращаются в ноль, т.е.

Первая частная производная дает n условий. Таким образом, получается n уравнений для определения n неизвестных х_i.

После вычислений соответствующих производных получим уравнения:

(8.6)

Тогда, используя обратную матрицу V^–1 для определения х, получим:

. (8.7)

Подставляя х из (8.7) в (8.4), получаем для множителя Лагранжа λ выражение:

или, окончательно,

. (8.8)

Тогда, избавляясь в (8.7) от множителя Лагранжа λ, получим явное выражение для х:

. (8.9)

В формуле (8.9) в числителе – вектор столбец, в знаменателе – скаляр.

Формула (8.9) определяет количество средств Х, вкладываемых в рискованные бумаги. Количество средств, вкладываемых в безрискованные бумаги Х₀ определяется по известным Х из уравнения баланса в виде

(8.10)

или Х₀ = 1 - Х₁ - Х₂ - …- Х_n (8.11)

Важно, что величина m_s входит в решение для х в виде скалярного множителя m_s–r₀. Таким образом, доля средств х, выделяемых на рискованные бумаги линейно зависит от m_s–r₀.

Структура рискованных вложений, определяемая отношением вложения х_k в k-ую ценную рискованную бумагу к суммарному вложению в рискованные бумаги , задается вектором:

(8.12)

и не зависит от суммарной доходности m_s.

Действительно, учитывая, что из (8.9)

, (8.13)

получаем для структуры вложений из (8.12) и (8.13):

. (8.14)

Оценим теперь суммарный риск для оптимального решения, т.е. найдем дисперсию оптимального портфеля ценных бумаг. Подставляя (8.9) в (8.3') получим для оценки суммарного риска дисперсию равную

(8.15)

Окончательно:

, (8.16)

где ‑ положительное число в силу знакоположительности матрицы ковариаций V и обратной к ней матрицы V^-1. Отсюда следует, что среднеквадратическое отклонение риска σ_s линейно связано с ожидаемой эффективностью оптимального портфеля m_s. Точнее из (8.16) имеем:

, (8.17)

или

. (8.18)

Таким образом, ожидаемая эффективность m_s пропорциональна среднеквадратическому отклонению риска σ_s.

Пусть кроме линейных ограничений (8.1) и (8.2) имеются ограничения в виде неравенств , что соответствует запрету на получение денег в долг для покупки ценных бумаг.

Тогда, задача построения оптимального портфеля ценных бумаг, аналогично п. 7, может быть решена численными методами с использованием универсальных математических программных средств , Excel, Mathcad, Matlab, Maple или специальных программных средств, применяющих метод проекции градиента (Розена) и имеющихся в СЗАГС.

Бета вклада ценной бумаги относительно оптимального портфеля

Оценим вклад каждой ценной бумаги, вошедшей в оптимальный портфель, в общую эффективность портфеля. Эффективность оптимального портфеля является случайной величиной, равной

(8.19)

где

R^*=(R₁ , R₂, … R_n)- случайный вектор, составленный из случайных эффективностей

x⁺ - структура оптимального портфеля ценных бумаг, равная согласно (8.9)

- количество средств, выделяемых на безрисковую ценную бумагу, для оптимального портфеля равное .

Таким образом, величины являются детерминированными, а величины - случайными.

Тогда, математическое ожидание эффективности для оптимального портфеля равно

Отсюда разность между случайной эффективностью и средней эффективностью оптимального портфеля равна:

(8.20)

Вычислим величину , именуемую «бета вклада j-ой ценной бумаги относительно оптимального портфеля». По определению она равна:

(8.21)

где - ковариация эффективности j-ой ценной бумаги и эффективности оптимального портфеля.

- дисперсия оптимального портфеля.

Коэффициенты β_j – «бета вклад j-ой ценной бумаги относительно оптимального портфеля» называют также коэффициентами Шарпа.

С другой стороны, для β_j можно дать следующее эквивалентное определение, частично проясняющее суть этой величины. Центрируем эффективность

j-ой ценной бумаги и эффективность оптимального портфеля, то есть от случайных величин R_j и R⁺ переходим к центрированным случайным величинам R_j - m_j и R⁺ - m_s.

Покажем, что β_j является коэффициентом в линейной регрессии

(8.22)

Действительно, найдем β_j методом наименьших квадратов, то есть β_j должен обеспечивать минимум дисперсии разности

(8.23)

Раскрывая (8.23), получим для дисперсии

(8.24)

где σ_j² – дисперсия (риск) j-ой ценной бумаги, σ_s² – дисперсия (риск) оптимального портфеля,

E((R_j - m_j)(R⁺ - m_s)) – ковариация эффективности j-ой ценной бумаги и эффективности оптимального портфеля.

Приравняв производную от дисперсии (8.24) по β_j нулю, получим линейное уравнение, которое дает выражение для β_j в виде (8.21). Это и означает, что β_j является коэффициентом в линейной регрессии.

Если вспомнить теперь, что ковариация связана с коэффициентом корреляции по формуле

(8.25)

где σ_j –среднеквадратическое отклонение j-ой ценной бумаги, σ_s –среднеквадратическое отклонение оптимального портфеля, K_js – коэффициент корреляции между эффективностью j-ой ценной бумаги и эффективностью портфеля ценных бумаг.

Тогда из (8.21) имеем:

(8.26)

Таким образом, β_j – «бета вклад j-ой ценной бумаги относительно оптимального портфеля» может с этой точки зрения рассматриваться как отношение среднеквадратических отклонений, умноженное на коэффициент корреляции.

Для выяснения экономического смысла рассмотрим β_j с третьей точки зрения воспользуемся определением (8.21) и формулой (8.20). Вводя вектор столбец β, состоящий из всех коэффициентов β₁, β₂ … β_n, получим из (8.21) и (8.20)

где V=E((R-m)(R-m)^*) – ковариационная матрица размерности n×n для ценных бумаг (см. (8.3’), (6.6)).

Таким образом,

(8.27)

учитывая структуру оптимального портфеля

и структуру дисперсии оптимального портфеля

получим для β в матричном виде

(8.28)

или

Окончательно в скалярной форме коэффициенты β_j имеем:

(8.29)

соответственно

(8.30)

Отсюда следует важный вывод: премия за риск любой ценной бумаги, включенной в оптимальный портфель, пропорциональна премии за риск, связанный с оптимальным портфелем в целом, при этом коэффициент пропорциональности равен β_j.

Пример 60.

Формирование портфеля из четырех ценных бумаг (задача J. Tobin).

Инвестор формирует портфель из четырех ценных бумаг, одна из которых является государственной безрисковой ценной бумагой. Средняя доходность портфеля m выражается формулой:

m = x₀ + 5 x₁ + 11 x₂ + 21 x₃, (8.30)

где: х₀ – относительное количество средств потраченных на государственные безрисковые ценные бумаги;

х₁, х₂, х₃ – относительное количество средств потраченных на три ценные бумаги с риском (акции).

При этом выполняется уравнение баланса:

х₀ + х₁ + х₂ + х₃ = 1 (8.31)

Риск портфеля определяется рискованными ценными бумагами и выражается формулой:

σ² = х₁²+ 2 х₂² + 5 х₃² (8.32)

Необходимо определить структуру портфеля х₀, х₁, х₂, х₃ , обеспечивающую минимум риска (8.32) при выполнении условия баланса (8.31) и фиксации доходности (8.30).

Решение:

Вычитая из уравнения доходности (8.30) уравнение баланса (8.31), получим уравнение не содержащее переменной х₀.

(x₀+5x₁+11x₂+21x₃)-( х₀+х₁+х₂+х₃)=m-1

4 x₁ + 10 x₂ + 20 x₃ = m-1 (8.33)

Таким образом, задача упрощается. Нужно найти минимум функции риска (8.32) при одном ограничении (8.33).

Воспользовавшись функцией Лагранжа, получим:

L = х₁²+2 х₂²+5 х₃² - λ (4 x₁ + 10 x₂ + 20 x₃ - (m-1))

где λ – множитель Лагранжа.

Для достижения минимального значения вычислим и приравняем к нулю частные производные от функции Лагранжа:

и в результате для х имеем:

x₁ = 2λ, x₂ = 2,5 λ, x₃ = 2 λ (8.34)

Для вычисления множителя Лагранжа λ, подставим значения (8.34) в ограничения (8.33) и вычисляем значение множителя Лагранжа λ:

Подставляя значение λ в (8.34), вычисляем относительное количество средств потраченных на рискованные и государственные безрисковые ценные бумаги (значения х₁,х₂,х₃,х₀ ):

x₁ = (m-1) = 0,02739(m-1)

x₂ = (m-1) = 0,03424(m-1) (8.35)

x₃ = (m-1) = 0,02739(m-1)

x₀ =1 - (m-1) =1- 0,08902(m-1)

Для риска σ² из (8.32) и (8.35) получим:

σ² = х₁²+2х₂²+5х₃²= (m-1)²,

Следовательно, среднеквадратическое отклонение σ равно:

σ = = = 0,08276 (m-1)

В качестве численного примера рассмотрим случай, когда желаемая доходность портфеля равна m=1, 2, 3, 11

m	1	2	3	11
x1	0	0,02739	0,05478	0,2739
x2	0	0,03424	0,06848	0,3424
x3	0	0,02739	0,05478	0,2739
x0	1	0,91098	0,82196	0,1098
σ	0	0,08276	0,16552	0,8276

Таблица 8.1

Зависимость структуры портфеля и риска от доходности портфеля.

На рис.8.1. представлена зависимость структуры портфеля х₀, х₁, х₂, х₃ от доходности портфеля m. Прямые для х₁ и х₃ совпадают.

На рис.8.2. представлена зависимость риска портфеля σ от доходности портфеля m.

При доходности портфеля m = 1, равной доходности государственной ценной бумаги, получается очевидный результат х₀=1, х₁=0, х₂=0, х₃ =0,

т. е. все средства следует вложить в государственную ценную бумагу. При увеличении желаемой доходности портфеля средства начинают понемногу перетекать из государственной ценной бумаги в акции, причем пропорция между средствами на акции будет постоянной на первую и третью акцию одна и та же сумма на вторую акцию в 1,25 раз больше.

Таким образом, структура портфеля ценных бумаг не меняется в зависимости от желаемой доходности портфеля ценных бумаг. Пропорция: х₁:х₂:х₃ не зависит от желаемой доходности портфеля ценных бумаг. Это свойство портфеля остается справедливым и в общем случае.

В общем случае задача оптимизации портфеля ценных бумаг решается численными методами, например, с помощью программы поиск решения из Excel. Для её подключения необходимо произвести следующие операции: войти в Excel, далее Сервис / Надстройки /Поиск решения.

На следующем модельном примере поясним суть понятия β_j – вклада ценной бумаги (ЦБ) относительно оптимального портфеля.

Пример 61.

Расчет бета вклада ценной бумаги относительно оптимального портфеля.

В таблице 8.2 приведены эффективности R₁, R₂, R₃ трех ценных бумаг (акций). Требуется найти статистические характеристики эффективностей акций необходимые для построения оптимального портфеля ценных бумаг, т. е. оценить математическое ожидание доходности акций m₁, m₂, m₃; ковариационную v_ij и корреляционную k_ij матрицы связи ценных бумаг. Построить оптимальный портфель ценных бумаг (задача Д. Тобина) в предположении, что в него включена государственная ценная бумага с нулевым риском и ожидаемой доходностью r₀ = 2. Рассчитать тремя способами (по формулам (8.21), (8.23), (8.29)) β_j – вклада ценной бумаги относительно оптимального портфеля. Убедится в эквивалентности этих способов расчета β_j – вклада ценной бумаги.

Таблица 8.2.

Эффективности ценных бумаг R₁, R₂, R₃ и оптимального портфеля R+

№	R1	R2	R3	R+
1	8,761365	14,095503	23,632829	13,447617
2	10,879587	10,690963	20,016460	12,389651
3	8,257235	13,865662	21,150472	12,545236
4	8,726669	12,580099	19,169947	11,859913
5	8,552506	15,009649	22,962156	13,436746
6	11,675297	16,566010	16,751497	13,399788
7	9,413837	13,766254	16,835560	11,822925
8	9,817628	15,297621	19,626172	13,115388
9	11,913090	13,399956	21,672178	13,935806
10	11,210324	16,575423	23,374822	14,964243
11	9,504745	13,854966	21,109348	13,001792
12	12,343175	11,811776	20,846186	13,457775
13	8,384148	16,056675	23,868444	13,890185
14	10,410748	11,591823	17,080349	11,683060
15	12,111456	14,515588	18,742271	13,539585
16	11,761857	14,033976	22,447792	14,251298
17	9,634661	15,057955	23,045375	13,879325
18	11,312833	16,998331	16,296277	13,259054
19	7,753248	16,851225	17,937712	12,308721
20	12,119974	10,701619	17,087648	12,091820
21	11,917392	13,370214	19,974767	13,484292
22	10,126544	11,554675	22,173056	12,901775
23	7,815206	12,220851	18,212583	11,169482
24	11,927865	11,978152	20,731739	13,315589
25	8,453786	11,389094	22,542484	12,324045
26	10,899179	16,787401	16,167041	13,013004
27	9,990512	14,511945	17,875535	12,511885

Воспользовавшись программой СРЗНАЧ() в Excel, найдем ожидаемые доходности акций

m₁= 10,21018, m₂ = 13,89383, m₃ = 20,04929

Далее, с помощью программ КОВАР() и КОРРЕЛ() найдем ковариационную и корреляционную матрицу соответственно.

Ковариационная матрица равна:

Корреляционная матрица равна:

Коэффициенты корреляции малы и, следовательно, ценные бумаги статистически независимы.

Используя полученные значения ожидаемых доходностей портфеля m₁, m₂, m₃ и ковариационную матрицу V, построим оптимальный портфель Д. Тобина с доходностью m_s=13, включающий кроме акций государственную ценную бумагу с нулевым риском и доходом r₀ = 2. Для этого воспользуемся программой Поиск решения в Excel. При вычислении риска портфеля x^*V x, где х – вектор столбец средств вкладываемых в акции, можно использовать функцию Excel для умножения матриц МУМНОЖ().

Решение задачи Д. Тобина, в Excel дает следующую структуру оптимального портфеля ценных бумаг:

x₀⁺ = 0,094160 , x₁⁺ = 0,376906, x₂⁺ = 0,266649, x₃⁺ = 0262285,

где x₀⁺ – доля средств выделяемых на покупку государственной ценной бумаги,

x₁⁺, x₂⁺, x₃⁺ - доли средств выделяемых на покупку акций.

Эффективность оптимального портфеля является случайной величиной, равной согласно (8.19) равной

где

R^* = (R₁, R₂, R₃) - случайный вектор, составленный из случайных эффективностей трех акций,

Х₀⁺, Х⁺ = (Х₁⁺ , Х₂⁺ , Х₃⁺) - вычисленная структура оптимального портфеля ценных бумаг.

В таблице 8.2. столбец R⁺ соответствует оптимальному портфелю.

Вычислим величину , именуемую «бета вклада j-ой ценной бумаги относительно оптимального портфеля» по формуле (8.21):

где - ковариация эффективности j-ой ценной бумаги и эффективности оптимального портфеля.

- дисперсия оптимального портфеля.

Коэффициенты β_j – «бета вклад j-ой ценной бумаги относительно оптимального портфеля» называют также коэффициентами Шарпа.

Вычислив ковариации между парами столбцов (R₁, R⁺), (R₂, R⁺), (R₃, R⁺) в таблице 8.2. и поделив её на дисперсию оптимального портфеля, получим бета вклада j-ой ценной бумаги относительно оптимального портфеля:

β₁ = 0,7464, β₂ = 1,0810, β₃ = 1,6408.

С другой стороны, для β_j можно дать следующее эквивалентное определение: β_j - является коэффициентом в линейной регрессии:

(8.36)

Найдем параметры линейной регрессии β_j и а_j методом наименьших квадратов (8.23), используя в Excel функцию ЛИНЕЙН() для построения линейной регрессии между столбцами R₁, R₂, R₃, и R⁺. Получим соответственно:

β₁ = 0,7464, a₁ = 0,5072

β₂ = 1,0810, a₂ = - 0,1625

β₃ = 1,6408 a₃ = - 1,2817

На рисунках 8.3. - 8.5. проиллюстрирована линейная регрессия пар эффективностей ценных бумаг и эффективности оптимального портфеля.

С третьей точки зрения экономический смысл β_j следующий. Коэффициент β_j равен отношению разности доходности акции и государственной ценной бумаги к разности доходности оптимального портфеля и государственной ценной бумаги (см. формулу 8.29):

или (см. формулу (8.30)):

Таким образом, премия за риск любой ценной бумаги, включенной в оптимальный портфель, пропорциональна премии за риск, связанный с оптимальным портфелем в целом, при этом коэффициент пропорциональности равен β_j.

Расчет по формуле (8.29) дает следующие значения для β_j – вклада ценной бумаги

Очевидно, что во всех трех случаях расчета β_j – вклада ценной бумаги получаются одинаковые значения.

В соответствии с моделью ценообразования на рынке капиталовложений (Capital Asset Pricing Model, CAPM), разработанной Шарпом, Линтнер и Моссин формулы (8.29) и (8.30) применимы для конкурентного равновесного финансового рынка. Для этого нужно заменить индекс оптимального портфеля m_s на индекс рынка, и тогда формула (8.30):

(8.37)

означает следующее: премия за риск, связанный с любой ценной бумагой , пропорциональна премии за риск рынка в целом , а коэффициент пропорциональности есть β_j - бета вклада ценной бумаги относительно рынка.

Соотношение (8.31) принято называть основным уравнением равновесного рынка. Его графическое изображение представлено на рис 8.6.

По оси абсцисс отложена величина бета, по оси ординат ожидаемая доходность ценной бумаги. Для идеального равновесного рынка задание бета позволяет найти ожидаемую эффективность в виде точки на прямой.

Поведение реального стационарного рынка вносит в формулу (8.37) статистическую погрешность α_j и формула приобретает вид:

, (8.38)

Она отличается от основного уравнения САРМ (8.38) наличием слагаемого (погрешности), называемой альфа вклада.

Если с помощью линейной регрессии определены параметры бета вклада и величины , то альфа вклада определяется по формуле:

Для идеального рынка альфа вклады всех ценных бумаг равны нулю. Статистические данные реального стационарного рынка говорят о наличии погрешности в модели САРМ, которые приводят к появлению заметных альфа вкладов.

Объясняется это тем, что на реальном рынке отнюдь не все участники одинаково информированы, и рациональность их поступков различна. Поэтому портфель рынка отличается от оптимального портфеля.

Тогда, если статистика показывает, что альфа вклада какой-нибудь бумаги α_j > 0 положительна, то это означает недооценку рынком этой ценной бумаги. В противном случае при α_j < 0 считают, что рынок переоценивает возможности этой бумаги. В первом случае при α_j > 0 следует играть на повышении курс ценной бумаги, во втором случае при α_j < 0 на понижении курса.

В приведенном на рис 8.6. примере реального «возмущенного» рынка бета и альфа равны:

Таблица 8.3.

β1	0,85043	α1	-1,14257
β2	1,09073	α2	-0,10161
β3	1,30983	α3	3,64429

Бета вклада ценной бумаги реального рынка немного отличаются от бета вклада ценной бумаги идеального рынка, рассмотренного выше, и альфа неравны нулю и отличие от идеального рынка, где они равны нулю.

Первая ценная бумага дает доход ниже рынка β₁<1 и недооценена α₁<0.

Вторая ценная бумага дает доход выше рынка β₂>1 и недооценена α₂<0.

Третья ценная бумага дает доход выше рынка β₃>1 и переоценена α₃>0.