- •Инвестиции Учебное пособие
- •Печатается по решению редакционно-издательского совета сзагс
- •Содержание
- •Раздел I. 6
- •Раздел II. Лекции 8
- •Раздел IV. Планы практических занятий 185
- •Раздел V. Словарь основных понятий 196
- •Раздел VI. Примерные темы курсовых работ 203
- •Раздел VII. Примерный перечень вопросов к итоговой аттестации 205
- •Раздел I.
- •Выписка из образовательного стандарта
- •Инвестиции
- •Рынок ценных бумаг
- •Раздел II. Лекции Введение
- •1. Товары финансового рынка
- •2. Финансовые вычисления
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Кредитование
- •Пример 9.
- •Решение.
- •Решение.
- •2.3. Дисконтирование
- •2.4. Эффективная ставка
- •2.5. Непрерывная ставка (сила роста) и непрерывный дисконт
- •3. Потоки платежей
- •3.1. Однонаправленные потоки платежей
- •3.2. Финансовая рента (аннуитет)
- •Непрерывная рента.
- •3.3. Двусторонние потоки платежей. Эффективная ставка операции
- •3.4. Эффективная ставка кредита
- •Парадокс эффективной процентной ставки.
- •3.5 Финансовые вычисления по ценным бумагам
- •Фундаментальный и технический анализ ценных бумаг.
- •Оценка облигаций с нулевым купоном
- •Оценка облигации с фиксированной ставкой
- •Оценка бессрочных облигаций с постоянным доходом
- •Оценка обыкновенных акций
- •Формула Гордона.
- •Формула Модильяни
- •3.6. Вероятностные характеристики платежей
- •Оценка эффективности инвестиционного проекта
- •4.1 Критерии оценки эффективности инвестиционного проекта
- •Чистое современное значение npv (net present value).
- •Срок (время) окупаемости инвестиционного проекта (discount payback period, dpp).
- •Норма рентабельности, индекс доходности инвестиционного проекта (profitability index, pi).
- •4.2. Чистое современное значение npv (net present value)
- •4.3. Эффективная ставка, внутренняя эффективность, внутренняя норма доходности (internal rate of return, irr)
- •4.4. Срок (время) окупаемости инвестиционного проекта (discount payback period, dpp)
- •4.5. Норма рентабельности, индекс доходности инвестиционного проекта (profitability index, pi)
- •5. Моделирование рисков на рынке ценных бумаг
- •5.1. Финансовый риск
- •5.2. Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева
- •5.3. Хеджирование
- •6. Портфель ценных бумаг
- •6.1. Характеристики портфеля ценных бумаг
- •6.2. Оценка доходности и риска портфеля ценных бумаг
- •6.3. Портфель из независимых ценных бумаг. Диверсификация портфеля
- •6.4. Портфель из коррелированных ценных бумаг
- •6.5. Портфель из антикоррелированных ценных бумаг
- •7. Оптимальный портфель при рискованных вложениях
- •Задача об осторожном инвесторе.
- •Портфель из статистически независимых ценных бумаг с минимальным риском
- •8. Оптимальный портфель ценных бумаг при безрисковых и рискованных вложениях (j. Tobin)
- •9. Статистика фондового рынка
- •9.1. Прямой статистический метод
- •9.2. Метод ведущих факторов
- •Заключение
- •Приложение Элементы теории вероятностей и математической статистики
- •Ковариация
- •Линейная регрессия. Парная линейная регрессия
- •Множественный регрессионный анализ
- •Раздел ш. Список рекомендуемой литературы
- •Задача 11.
- •Задача 12.
- •1.3. Дисконтирование
- •1.4. Эффективная ставка
- •2.4.Эффективная ставка операции
- •Занятие № 3. Тема «финансовые вычисления по ценным бумагам» Оценка облигаций с нулевым купоном
- •Занятие № 4. Тема «оценка эффективности инвестиционного проекта»
- •Занятие № 5. Тема «финансовый риск»
- •3.2. Неравенство Чебышева
- •3.3. Хеджирование
- •Занятие № 6. Тема «портфель ценных бумаг». «построение оптимального портфеля ценных бумаг при рискованных вложениях»
- •Раздел V. Словарь основных понятий
- •Раздел VI. Примерные темы курсовых работ
- •Финансовые вычисления по ценным бумагам.
- •Хеджирование.
- •Оценка доходности и риска портфеля ценных бумаг.
- •Раздел VII. Примерный перечень вопросов к итоговой аттестации
- •Товары финансового рынка.
- •Эффективная ставка кредита.
- •Хеджирование.
- •Клоков Владимир Иванович инвестиции
7. Оптимальный портфель при рискованных вложениях
(H. MARKOWITZ)
Можно составить две задачи оптимизации портфеля:
распределить средства, выделяемые на покупку ценных бумаг так, чтобы при фиксированной эффективности обеспечить минимальный риск;
распределить средства, выделяемые на покупку ценных бумаг так, чтобы при фиксированном риске обеспечить максимальное значение эффективности.
Математическая постановка задач следующая.
Задача 1.
Минимизация риска.
Найти структуру портфеля ценных бумаг x1, x2, , xn, удовлетворяющие линейным ограничениям:
x1+x2++xn=1 (уравнение баланса); (7.1)
x1m1+x2m2++xnmn=ms (фиксация эффективности) (7.2)
и минимизирующие квадратичную функцию риска
. (7.3)
Задача 2.
Максимизация эффективности.
Найти структуру портфеля ценных бумаг x1, x2, , xn, удовлетворяющие линейному ограничению:
x1+x2++xn=1 (уравнение баланса); (7.1)
и квадратичному ограничению:
(фиксация риска) (7.2)
и максимизирующие линейную функцию дохода:
m=x1m1+x2m2++xnmn (7.3)
Приведенные задачи двойственны и приводят к одному и тому же решению.
Решение этих задач может содержать некоторые значения xk<0. Это означает, что при формировании оптимального портфеля для покупки k-ой ценной бумаги следует взять в долг сумму – xk. Если портфель ценных бумаг уже существует, то следует продать пакет из к-ых ценных на сумму – xk.
Если в долг брать нельзя, то дополнительно к ограничениям равенствам в задаче оптимизации добавляются ограничения неравенства:
. (7.4)
Рассмотрим сначала задачу построения оптимального портфеля инвестора без ограничения неотрицательности переменных.
Если в задаче оптимизации портфеля на переменные не наложено условие неотрицательности, то задача имеет точное аналитическое решение.
Воспользуемся функцией Лагранжа.
, (7.5)
где
ms – требуемое значение эффективности портфеля;
, – множители Лагранжа, которые будут найдены позже из линейных ограничений.
Приравнивая частные производные , получим систему линейных уравнений для определения x1, x2, , xn:
(7.6)
Далее удобно использовать матричные обозначения. Тогда (7.6) можно записать в виде:
2Vx=I+m, (7.7)
где V – симметричная знакоположительная матрица ковариации размерности nn, равная:
,
x – вектор-столбец неизвестных n1
I, m – векторы-столбцы n1 вида
.
Воспользовавшись обратной матрицей V–1, получим для вектора-столбца неизвестных формулу:
. (7.8)
Осталось определить множители Лагранжа из линейных ограничений, записываемых в матричном виде:
I*x=1, m*x=ms, (7.9)
где
m*, I* – векторы строки, получаемые из векторов-столбцов с помощью операции транспортирования, обозначаемой *.
Подставляя (7.8) в (7.9), получим систему линейных уравнений для определения , :
(7.10)
Вводя обозначения: , получим:
(7.11)
Решая методом Крамера систему (7.11), получим:
Подставляя в (7.8) найденные множители Лагранжа, получим оптимальную структуру портфеля в виде:
. (7.12)
Из (7.12) видно, что х линейно зависит от требуемой доходности портфеля ms (см. рис. 7.1.). Тогда риск, равный будет квадратичной выпуклой вниз функцией от требуемой доходности портфеля ms (см. рис. 7.2.).
Рассмотрим теперь задачу минимизации функции риска с дополнительными ограничениями (условия неотрицательности неизвестных) в виде неравенств (7.4). Дадим геометрическую интерпретацию решения этой задачи.
Функции риска является квадратичной формой неизвестных. Два линейных ограничения выделяют в n-мерном пространстве неизвестных подпространство n–2-мерной размерности, соответствующее независимым переменным. В этом подпространстве n неравенств (xi0) ограничивает некоторый выпуклый многогранник размерности n–2. Минимизируемая функция является квадратичной знакоположительной, поэтому минимум может достигаться как внутри многогранника, так и на его границе.
Данная задача относится к проблеме квадратичного программирования, для решения которой разработаны специальные численные методы.
Эта задача может быть решена с использованием универсальных математических программных средств, например, Excel, Mathcad, Matlab, Maple или специальных программных средств, применяющих метод проекции градиента (Розена) и имеющихся в СЗАГС.
Пример58.