
- •Инвестиции Учебное пособие
- •Печатается по решению редакционно-издательского совета сзагс
- •Содержание
- •Раздел I. 6
- •Раздел II. Лекции 8
- •Раздел IV. Планы практических занятий 185
- •Раздел V. Словарь основных понятий 196
- •Раздел VI. Примерные темы курсовых работ 203
- •Раздел VII. Примерный перечень вопросов к итоговой аттестации 205
- •Раздел I.
- •Выписка из образовательного стандарта
- •Инвестиции
- •Рынок ценных бумаг
- •Раздел II. Лекции Введение
- •1. Товары финансового рынка
- •2. Финансовые вычисления
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Кредитование
- •Пример 9.
- •Решение.
- •Решение.
- •2.3. Дисконтирование
- •2.4. Эффективная ставка
- •2.5. Непрерывная ставка (сила роста) и непрерывный дисконт
- •3. Потоки платежей
- •3.1. Однонаправленные потоки платежей
- •3.2. Финансовая рента (аннуитет)
- •Непрерывная рента.
- •3.3. Двусторонние потоки платежей. Эффективная ставка операции
- •3.4. Эффективная ставка кредита
- •Парадокс эффективной процентной ставки.
- •3.5 Финансовые вычисления по ценным бумагам
- •Фундаментальный и технический анализ ценных бумаг.
- •Оценка облигаций с нулевым купоном
- •Оценка облигации с фиксированной ставкой
- •Оценка бессрочных облигаций с постоянным доходом
- •Оценка обыкновенных акций
- •Формула Гордона.
- •Формула Модильяни
- •3.6. Вероятностные характеристики платежей
- •Оценка эффективности инвестиционного проекта
- •4.1 Критерии оценки эффективности инвестиционного проекта
- •Чистое современное значение npv (net present value).
- •Срок (время) окупаемости инвестиционного проекта (discount payback period, dpp).
- •Норма рентабельности, индекс доходности инвестиционного проекта (profitability index, pi).
- •4.2. Чистое современное значение npv (net present value)
- •4.3. Эффективная ставка, внутренняя эффективность, внутренняя норма доходности (internal rate of return, irr)
- •4.4. Срок (время) окупаемости инвестиционного проекта (discount payback period, dpp)
- •4.5. Норма рентабельности, индекс доходности инвестиционного проекта (profitability index, pi)
- •5. Моделирование рисков на рынке ценных бумаг
- •5.1. Финансовый риск
- •5.2. Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева
- •5.3. Хеджирование
- •6. Портфель ценных бумаг
- •6.1. Характеристики портфеля ценных бумаг
- •6.2. Оценка доходности и риска портфеля ценных бумаг
- •6.3. Портфель из независимых ценных бумаг. Диверсификация портфеля
- •6.4. Портфель из коррелированных ценных бумаг
- •6.5. Портфель из антикоррелированных ценных бумаг
- •7. Оптимальный портфель при рискованных вложениях
- •Задача об осторожном инвесторе.
- •Портфель из статистически независимых ценных бумаг с минимальным риском
- •8. Оптимальный портфель ценных бумаг при безрисковых и рискованных вложениях (j. Tobin)
- •9. Статистика фондового рынка
- •9.1. Прямой статистический метод
- •9.2. Метод ведущих факторов
- •Заключение
- •Приложение Элементы теории вероятностей и математической статистики
- •Ковариация
- •Линейная регрессия. Парная линейная регрессия
- •Множественный регрессионный анализ
- •Раздел ш. Список рекомендуемой литературы
- •Задача 11.
- •Задача 12.
- •1.3. Дисконтирование
- •1.4. Эффективная ставка
- •2.4.Эффективная ставка операции
- •Занятие № 3. Тема «финансовые вычисления по ценным бумагам» Оценка облигаций с нулевым купоном
- •Занятие № 4. Тема «оценка эффективности инвестиционного проекта»
- •Занятие № 5. Тема «финансовый риск»
- •3.2. Неравенство Чебышева
- •3.3. Хеджирование
- •Занятие № 6. Тема «портфель ценных бумаг». «построение оптимального портфеля ценных бумаг при рискованных вложениях»
- •Раздел V. Словарь основных понятий
- •Раздел VI. Примерные темы курсовых работ
- •Финансовые вычисления по ценным бумагам.
- •Хеджирование.
- •Оценка доходности и риска портфеля ценных бумаг.
- •Раздел VII. Примерный перечень вопросов к итоговой аттестации
- •Товары финансового рынка.
- •Эффективная ставка кредита.
- •Хеджирование.
- •Клоков Владимир Иванович инвестиции
4.5. Норма рентабельности, индекс доходности инвестиционного проекта (profitability index, pi)
Зафиксируем процентную ставку r и время t для инвестиционного проекта.
Нормой рентабельности (индексом доходности) инвестиционного проекта (profitability index, PI) называется число H, равное отношению современной стоимости потока доходов к современной стоимости потока инвестиций в проект:
,
(4.6)
где
-
инвестиции в моменты времени
j=1,2,…m,
-
доходы от инвестиций в моменты времени
i=1,2,…n,
r- ставка дисконтирования.
Таким образом, в числителе формулы для вычисления нормы рентабельности (индекса доходности) стоит сумма дисконтированных доходов, а в знаменателе сумма дисконтированных инвестиций.
Экономический смысл нормы рентабельности (индекса доходности) инвестиционного проекта – это количество рублей заработанных на один рубль инвестиций.
Таким образом, решение о приемлемости инвестиционного проекта принимается по следующему решающему правилу:
● Если норма рентабельности (индекс доходности) инвестиционного проекта больше единицы H>1, то доходы от инвестиционного проекта превосходят расходы и проект приемлем. При этом NPV>0.
● В противном случае, если норма рентабельности (индекс доходности) инвестиционного проекта меньше единицы H<1, то доходы от инвестиционного проекта меньше расходов и проект неприемлем. При этом NPV<0.
● Если норма рентабельности (индекс доходности) инвестиционного проекта равна единице H=1, то доходы от инвестиционного проекта равны расходам. Это критический случай. При этом NPV=0.
Определение числителя и знаменателя в формуле для вычисления нормы рентабельности (индекса доходности) инвестиционного проекта возможен с помощью функции Excel расчета чистого современного значения NPV
ЧИСТНЗ (процентная ставка, значения, даты).
Пример 55.
Инвестиционный проект задан двусторонним потоком платежей. Соответствующий поток приведен в двух первых столбцах таблицы 4.2. Процентная ставка равна 10 %. В третьем столбце представлены инвестиции, в четвертом столбце доходы от инвестиций, в пятом столбце дисконтированная сумма доходов от инвестиционного проекта. В шестом столбце и на рис. 4.4 представлена зависимость нормы рентабельности (индекса доходности) H(t) от времени t действия инвестиционного проекта. Норма рентабельности H(t) равна отношению дисконтированной суммы доходов к дисконтированной сумме инвестиций, равной 236,328033 млн руб.
Таблица 4.2
Расчет Н нормы рентабельности (индекса доходности) инвестиционного проекта
|
процентная ставка r= |
10,00% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Даты |
Значения (млн. руб.) |
инвестиции C- |
доходы C+ |
дисконт. сумма доходов |
Н |
01.01.2008 |
-100 |
100,0 |
0 |
|
|
01.01.2009 |
-150 |
150,0 |
0 |
|
|
01.01.2010 |
0 |
|
0 |
0,00 |
0,000 |
01.01.2011 |
60 |
|
60 |
45,07 |
0,191 |
01.01.2012 |
60 |
|
60 |
86,04 |
0,364 |
01.01.2013 |
60 |
|
60 |
123,27 |
0,522 |
01.01.2014 |
60 |
|
60 |
157,12 |
0,665 |
01.01.2015 |
60 |
|
60 |
187,90 |
0,795 |
01.01.2016 |
60 |
|
60 |
215,87 |
0,913 |
01.01.2017 |
60 |
|
60 |
241,30 |
1,021 |
01.01.2018 |
60 |
|
60 |
264,41 |
1,119 |
01.01.2019 |
60 |
|
60 |
285,43 |
1,208 |
01.01.2020 |
60 |
|
60 |
304,53 |
1,289 |
На рис 4.5 и в шестом столбце таблицы представлена зависимость нормы рентабельности H(t) от времени t при процентной ставке r=10 %. В момент времени 01.01.2017 она составляет Н=1,021. Это значение превышает единицу то, есть на 1 руб. инвестиций получено 1,021 руб. дохода, что соответствует времени окупаемости инвестиционного проекта.
Пример56. Оценка риска инвестиционного проекта.
Инвестиционный проект задан двусторонним потоком платежей. Соответствующий поток приведен в двух первых столбцах таблицы 4.3. Процентная ставка является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием a = 10 % и среднеквадратическим отклонением σ = 3 %. Найти вероятность окупаемости инвестиционного проекта на момент времени t.
Решение.
Процентная ставка распределена по нормальному закону. Функция распределения нормально распределенной случайной величины с математическим
ожиданием a и среднеквадратическим отклонением σ имеет вид:
,
где для расчета вероятности P(r < x) используется нормированная нормальная функцию распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 и заданная интегралом Лапласа:
.
Для перехода к нормированной нормальной функции распределения центрируем случайную величину по формуле . Для вычисления функции Лапласа можно использовать таблицы или функцию НОРМСТРАСП( ) из Excel.
Согласно п. 4.2 чистое современное значение NPV зависит от процентной ставки r и времени t , то есть NPV = NPV(r, t ). Фиксируем время t. Если процентная ставка r является случайной величиной, то и современное значение NPV будет случайной величиной. Окупаемость проекта наступает, когда современное значение NPV становится больше нуля, т. е. окупаемости проекта соответствует событие NPV( r, t )>0. Найдем вероятность этого события:
,
где IRR – эффективная ставка проекта на момент t. Согласно п. 4.3 она является решением уравнения NPV(t, IRR) = 0.
Тогда, используя для вычисления интеграла Лапласа функцию НОРМСТРАСП( ) и функцию ЧИСТВНДОХ( ) для вычисления эффективной ставки IRR, найдем вероятность того, что инвестиционный проект окупится к моменту t. Результаты расчетов приведены в таблице 4.3 и проиллюстрированы рис 4.6.
Таблица 4.3.
Зависимость вероятности окупаемости от длительности проекта
-
Даты
Суммы
Эффективная ставка IRR
Вероятность
окупаемости
01.01.2008
-100
01.01.2009
-150
01.01.2010
0
01.01.2011
60
-45,78%
0,000000
01.01.2012
60
-22,34%
0,000000
01.01.2013
60
-9,15%
0,000000
01.01.2014
60
-1,04%
0,000117
01.01.2015
60
4,26%
0,027946
01.01.2016
60
7,89%
0,240954
01.01.2017
60
10,46%
0,560307
01.01.2018
60
12,32%
0,780335
01.01.2019
60
13,71%
0,891625
01.01.2020
60
14,75%
0,943478
01.01.2021
60
15,56%
0,968051
01.01.2022
60
16,18%
0,980370
Таким образом, если процентная ставка является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием a = 10 % и среднеквадратическим отклонением σ = 3 %, то вероятность окупаемости проекта на 2017 год равна 0,56 на 2018 и 2019 годы она возрастет и будет равна соответственно 0,78; 0,89.