2.3. Закон сохранения момента импульса

Задача 10. На скамейке Жуковского (вращающемся диске) стоит человек и держит в руках тонкий стержень, расположенный горизонтально, так, что ось симметрии диска проходит через середину стержня. Скамейка вращается вокруг

своей оси симметрии, делая 5 об/с. Суммарный момент инерции человека и скамейки – 5 кг·м², масса стержня – 3 кг, его длина – 2 м. С какой частотой станет вращаться скамейка, если человек повернет стержень и расположит его вертикально вдоль оси симметрии скамейки? Какая работа будет совершена при этом? Трением пренебречь.

Дано: n = 5 об/с I1 = 5 кг·м2 m2 = 3 кг l = 2 м

n´, Ачел  ?

Решение.

Так как ось вращения системы «человек – скамейка – стержень» закреплена, будем рассматривать движение относительно системы отсчета, ось которой совпадает с осью вращения системы и направлена вертикально вверх (рис. 12).

М оменты сил тя-жести, действующих на все тела, входящие в систему, и силы реакции опоры, действующей на скамейку, в рассматриваемых положениях тел равны нулю, так как линии действия этих сил совпадают с осью вращения системы (система симметрична относительно оси вращения), у сил нет плеч, поэтому они не могут изменять вращательного движения системы. Силой трения между осью и вращающимся диском при кратковременном изменении положения стержня можно пренебречь. Таким образом, результирующий момент внешних сил можно считать равным нулю и для решения задачи можно применять закон сохранения момента импульса:

, (1)

где и – моменты импульса системы при горизонтальном и вертикальном положениях стержня соответственно.

Момент импульса системы равен векторной сумме моментов импульсов тел, входящих в систему, поэтому

; (2)

, (3)

где и – моменты инерции стержня относительно оси вращения при его горизонтальном и вертикальном положениях;

и – угловые скорости системы в соответствующих состояниях.

Направление угловой скорости (рис. 12, а) вдоль оси вращения вверх определяется по правилу буравчика в соответствии с направлением вращения системы. Направление угловой скорости заранее не известно (определяется при решении задачи), поэтому на рис. 12, б оно отмечено знаком вопроса.

Подставив формулы (2) и (3) в уравнение (1), получим соотношение:

(4)

Отсюда выразим угловую скорость:

(5)

Выражение (5) позволяет сделать два вывода:

1) угловая скорость системы при вертикальном положении стержня со-направлена с угловой скоростью системы при его горизонтальном положении: , следовательно, и направление вращения системы не меняется;

2) так как моменты инерции величины положительные, модуль угловой скорости системы при вертикальном положении стержня определяется по формуле:

. (6)

Связь модулей угловых скоростей и с соответствующими частотами вращения и описываются уравнениями:

(7)

(8)

Стержень считается тонким и при вертикальном положении совпадает с осью вращения, поэтому его момент инерции относительно оси вращения можно принять равным нулю:

. (9)

При горизонтальном положении стержня его момент инерции относительно оси вращения, которая в рассматриваемом случае совпадает с осью симметрии стержня, определяется по формуле:

. (10)

Подставив формулы (7) – (10) в выражение (6) и сократив обе части полученного соотношения на получим формулу для определения частоты вращения системы:

. (11)

Подставив данные задачи в уравнение (11), получим: об/с.

Для определения работы, совершаемой человеком при изменении положения стержня, применим теорему об изменении кинетической энергии:

, (12)

где , – кинетическая энергия системы при горизонтальном и вертикальном положениях стержня соответственно,

; (13)

. (14)

Работы сил реакции опоры , тяжести , приложенных к каждому телу, равна нулю, так как моменты этих сил относительно оси вращения равны нулю, работа сил трения в оси пренебрежимо мала по условию, поэтому

. (15)

Подставив выражения (13) – (15) в равенство (12) и выполнив преобразования полученной формулы с учетом уравнений (6) – (10), получим формулу для определения работы, совершаемой человеком:

. (16)

Подставив численные значения в формулу (16), получим: Дж.

Ответ: , об/с;

, Дж.

З адача 11. Человек, стоящий на неподвижной скамейке Жуковского, держит вращающийся сплошной цилиндр, расположенный вертикально, так, что оси симметрии скамейки и цилиндра совпадают. Цилиндр вращается вокруг своей оси с угловой скоростью 16,5 с^-1. Суммарный момент инерции человека и скамейки – 7 кг·м², масса цилиндра – 7 кг, его радиус – 0,2 м. С какой угловой скоростью станет вращаться скамейка, если человек развернет цилиндр на 180° и расположит его вертикально так, чтобы оси симметрии скамейки и цилиндра совпали, модуль угловой скорости цилиндра относительно скамейки остался прежним, а ее направление изменилось на противоположное? Трением в оси пренебречь.

Дано: = 16,5 с1 I1 = 7 кг·м2 m2 = 7 кг = 0,2 м = 16,5 с1

 ?

Решение:

Так как ось вращения системы «человек – скамей-ка – цилиндр» закреплена, будем рассматривать движение тел относительно системы отсчета, связанной с Землей, ось которой совпадает с осью вращения системы и направлена вертикально вверх (рис. 13).

Моменты сил тяжести, действующих на все тела, входящие в систему, и силы реакции опоры, действующей на скамейку, в рассматриваемых положениях тел равны нулю, так как линии действия этих сил совпадают с осью враще-

ния системы (система симметрична относительно оси вращения), у сил нет плеч, поэтому они не могут изменять вращательное движение системы. Моментом силы трения при изменении положения цилиндра можно пренебречь. Таким образом, результирующий момент внешних сил можно считать равным нулю, поэтому для решения задачи можно применить закон сохранения момента импульса:

, (1)

где и – момент импульса системы при первом и втором положениях цилиндра соответственно.

Момент импульса системы равен векторной сумме моментов импульсов тел, входящих в систему, поэтому

; (2)

, (3)

где – момент инерции цилиндра относительно оси вращения;

и – угловые скорости тел относительно Земли в состоянии системы сразу после изменения положения цилиндра.

Так как при изменении положения цилиндр вращается не только вокруг своей оси, но и вместе со скамейкой, его угловая скорость относительно Земли

. (4)

Направления угловых скоростей (рис. 13, а, вдоль оси вращения цилиндра вверх) и (рис. 13, б, вдоль оси вращения цилиндра вниз) определяются по правилу буравчика в соответствии с направлением вращения цилиндра. Направление угловой скорости заранее не известно (определяется при решении задачи), поэтому на рис. 13, б оно отмечено знаком вопроса.

Подставив формулы (2)  (4) в уравнение (1), после преобразований получим соотношение:

. (5)

Отсюда выразим угловую скорость:

. (6)

Выражение (6) в проекции на ось (см. рис. 13) принимает вид:

. (7)

Так как моменты инерции величины положительные, , поэтому

(8)

и , следовательно, и направление вращения скамейки в состоянии системы после изменения положения цилиндра совпадает с направлением вращения цилиндра в первом состоянии.

Момент инерции цилиндра относительно оси вращения, которая в рассматриваемом случае совпадает с его осью симметрии, определяется по формуле:

. (9)

Подставив формулу (9) в выражение (8), получим:

, (10)

Подставим данные задачи в формулу (10) и получим: с^1.

Ответ: , , с^1.

Задача 12. Вертикально расположенный деревянный стержень закреплен так, что может вращаться вокруг оси, проходящей через его середину. Пуля, летящая горизонтально со скоростью 20 м/с, попадает в стержень и застревает в нем на расстоянии, равном одной четвертой его длины, от оси вращения. С какой угловой скоростью станет вращаться стержень, если его масса равна 1кг, длина – 1,2 м, а масса пули – 30 г? Трением в оси пренебречь.

Дано: v1 = 20 м/с m1 = 30 г r1 = 0,25l m2= 1 кг l2 = 1,2 м	СИ 0,03 кг
 ?

Решение.

Будем рассматривать движение системы «стержень – пуля» относительно системы отсчета, начало которой расположено в центре стержня О, а ось совпадает с осью вращения и направлена «на нас» (рис. 14). В момент удара на систему действуют силы тяжести

и реакции опоры – оси. Линии действия сил реакции оси и тяжести, действующих на стержень, и силы тяжести, действующей на пулю, проходят через центр стержня О. Таким образом, все внешние силы являются центральными, их моменты относительно центра О равны нулю, следовательно, при столкновении выполняется закон сохранения момента импульса:

, (1)

где и – моменты импульса системы относительно центра непосредственно до удара (рис. 14, а) и сразу после него (рис. 14, б) соответственно¹.

Д о взаимодействия стержень был неподвижен, поэтому момент импульса системы равен моменту импульса пули:

, (2)

где – момент инерции пули относительно оси вращения;

– угловая скорость пули непосредственно перед ударом.

Примем пулю за материальную точку, тогда ее момент инерции относительно оси вращения

. (3)

Модуль угловой скорости пули выражается через модуль линейной скорости и расстояние от точки попадания пули до оси

, (4)

где

Направление (рис. 14, а – «на нас») определяется по правилу буравчика в соответствии с направлением вращения.

После взаимодействия пули и стержня система начинает вращение как одно целое с угловой скоростью поэтому

, (5)

где – угловая скорость системы непосредственно после удара.

Момент инерции стержня относительно оси вращения, которая в рассматриваемом случае совпадает с осью симметрии стержня, определяется по формуле:

. (6)

Подставив формулы (2) и (5) в уравнение (1), получим соотношение:

. (7)

Отсюда

. (8)

Заметим, что моменты импульса пули до и после удара можно вычислить, основываясь на определении момента импульса материальной точки: и .

При анализе выражения (8) можно сделать два вывода:

1) угловая скорость системы во втором состоянии сонаправлена с угловой скоростью пули в первом состоянии: ;

2) так как моменты инерции величины положительные, модуль угловой скорости определяется по формуле:

. (9)

Подставим выражения (3), (4) и (6) в равенство (9):

. (10)

Подставим данные задачи в уравнение (10) и получим:

рад/с.

Ответ: , рад/с.