2.2. Закон сохранения импульса

Задача 4. Снаряд массой 12 кг, выпущенный из пушки под некоторым углом к горизонту, в верхней точке траектории имел скорость 30 м/с и разорвался на два осколка. Первый осколок массой 10 кг полетел в направлении движения снаряда со скоростью 40 м/с. Найти скорость второго осколка.

Дано: m = 12 кг m1 = 10 кг = 30 м/с = 40 м/с

 ?

Решение.

Внутренние силы, действующие на снаряд и осколки в момент взрыва, значительно больше внешних сил – тяжести и сопротивления воздуха, поэтому силами тяжести и сопротивления воздуха в момент взрыва можно пренебречь и считать систему замкнутой. Следовательно, к системе можно применить закон сохранения импульса:

, (1)

где  импульс снаряда до его разрыва,

(2)

импульс системы после разрыва снаряда,

; (3)

– скорость первого и второго осколков после разрыва снаряда.

Выберем для расчетов инерциальную систему отсчета, связанную с Землей. Мгновенная скорость материальной точки направлена по касательной к траектории в любой точке траектории. В частности, скорость снаряда в верхней точке его траектории направлена горизонтально, поэтому удобно направить горизонтальную ось в сторону движения снаряда непосредственно перед его разрывом. Схематически состояние системы до разрыва снаряда показано на рис. 4, а, после него – на рис. 4, б. Отметим, что направление скорости второго осколка заранее не известно, оно определяется в результате решения задачи и может быть указано на рисунке только после решения.

Подставив формулы (2) и (3) в выражение (1), получим:

. (4)

Выразим из формулы (4) скорость второго осколка после разрыва снаряда:

; (5)

Проекции скорости на координатные оси имеют вид:

; (6)

. (7)

Определим модуль скорости второго осколка после разрыва снаряда с учетом выражений (6) и (7):

. (8)

Подставим в уравнения (6), (8) численные значения, и получим:

м/с;

м/с.

Отрицательное значение проекции означает, что скорость второго осколка направлена в сторону, противоположную направлению оси .

Ответ: ; м/с; .

Задача 5. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой 15 г со скоростью 28 м/с относительно Земли. Затвор массой 210 г прижимается к стволу невесомой пружиной жесткостью 220 кН/м. На какое расстояние от первоначального положения отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен. Трением между всеми телами пренебречь.

Дано: mп = 15 г mз = 210 г k = 220 кН/м = 28 м/с	СИ 0,15 кг 0,21 кг 220∙103 Н/м
x  ?

Решение.

Движение затвора и пули является поступательным, следовательно, и затвор, и пулю можно считать материальными точками, масса которых сконцентрирована в их центрах инерции.

До выстрела (рис. 5, а) импульс системы «затвор – пуля»

, (1)

после выстрела (рис. 5, б) –

, (2)

где , – скорость пули и затвора после выстрела соответственно.

а б

в

Рис. 5

При выстреле все внешние силы, действующие на систему, много меньше силы взаимодействия затвора и пули, поэтому выполняется закон сохранения импульса:

. (3)

Подставив формулы (1) и (2) в выражение (3), получим:

. (4)

Следовательно, скорость затвора после выстрела

. (5)

Отсюда модуль скорости затвора

. (6)

Так как пружина не деформирована, потенциальная энергия затвора в поле упругости пружины равна нулю, поэтому его механическая энергия сразу после выстрела равна кинетической:

. (7)

Затвор перемещается до остановки в направлении, противоположном направлению движения пули. В момент остановки (рис. 5, в) кинетическая энергия затвора равна нулю, а его механическая энергия  потенциальной:

. (8)

Так как по условию задачи трением можно пренебречь, при движении затвора выполняется закон сохранения механической энергии:

(9)

Подставив в уравнение (9) равенства (7) и (8), получим выражение:

, (10)

из которого с учетом формулы (6) найдем расстояние :

. (11)

Подставляем в формулу (11) данные задачи: м.

Ответ: ; м.

Задача 6. Из неподвижного орудия вылетает снаряд под углом 60° к горизонту со скоростью 500 м/с относительно Земли. Определить модуль ско-рости отката орудия сразу после вылета снаряда и расстояние, на которое орудие откатится, если сила трения, действующая на него при откате, равна 4410 Н. Масса орудия равна 1500 кг, снаряда – 12 кг.

Дано: кг кг Н ° м/с

s  ?

Р

m₂

ешение.

Рассмотрим изменение состояния системы «орудие – снаряд» относительно инерциальной системы отсчета, связанной с Землей. До вылета снаряда (рис. 6, а) импульс системы равен нулю:

. (1)

Импульс системы после вылета снаряда (рис. 6, б)

. (2)

С илы взаимодействия между снарядом и орудием являются внутренними, поэтому полный импульс системы они изменить не могут. На систему действуют внешние силы: реакции опоры, трения и тяжести. Время выстрела очень мало, поэтому действием сил тяжести и трения на орудие во время вылета снаряда можно пренебречь. Силой нормальной реакции опоры, направленной вертикально, пренебречь нельзя, она препятствует вертикальному движению орудия. Проекция импульса системы на вертикальное направление (рис. 7, ось ) в течение выстрела изменяется, так как часть импульса орудия передается Земле, поэтому систему нельзя считать замкнутой. Однако можно считать, что проекция результирующей внешней силы на ось равна нулю, следовательно, проекция импульса системы на горизонтальное направление остается постоянной:

. (3)

Подставив проекции импульса системы до выстрела (формула (1)) и после него (формула (2)) в равенство (3), получим:

. (4)

Отсюда

. (5)

Следовательно,

. (6)

Модуль скорости отката орудия после вылета снаряда

, (7)

так как проекции скорости орудия на оси и равны нулю.

Подставив в уравнение (7) данные задачи, получим: м/с.

При откате на орудие действует постоянная сила трения, поэтому оно движется равнозамедленно. Пусть – перемещение орудия до остановки (см. рис. 7). Для определения расстояния , пройденного орудием до остановки, воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

, (8)

где работы сил тяжести реакции опоры и трения определяются по выражениям:

(9)

(10)

(11)

а начальная кинетическая энергия – по формуле:

. (12)

В момент остановки скорость орудия и его кинетическая энергия орудия равны нулю:

. (13)

Таким образом, кинетическая энергия орудия полностью расходуется на преодоление силы трения.

После подстановки выражений (9) – (13) в соотношение (8) оно примет вид:

(14)

Отсюда с учетом соотношения (6) найдем расстояние :

. (15)

Подставляем в уравнение (15) данные задачи:

м.

Ответ: , м/с; , м.

Задача 7. Из неподвижного орудия вылетает снаряд под углом 60° к горизонту со скоростью 200 м/с относительно орудия. Определить модуль ско-рости отката орудия относительно Земли сразу после вылета снаряда. Масса орудия равна 1520 кг, масса снаряда  80 кг.

Дано: кг кг ° м/с

 ?

Р

m₂

ешение.

Рассмотрим изменение состояния системы «орудие – снаряд» относительно инерциальной системы отсчета, связанной с Землей. До вылета снаряда (рис. 8, а) импульс системы равен нулю:

. (1)

При вылете снаряда из орудия происходит взаимодействие снаряда и орудия, в результате которого орудие приобретает скорость относительно Земли. Импульс системы после вылета снаряда (рис. 8, б)

, (2)

где – скорость снаряда относительно Земли.

По закону сложения скоростей

. (3)

Подставив соотношение (3) в правую часть формулы (2), получим:

(4)

Силы взаимодействия между снарядом и орудием являются внутренними, поэтому полный импульс системы они изменить не могут. На систему действуют внешние силы: реакции опоры, трения и тяжести. Время выстрела очень мало, поэтому действием сил тяжести и трения на орудие во время вылета снаряда можно пренебречь Силой нормальной реакции опоры, направленной вертикально, пренебречь нельзя: она препятствует вертикальному движению орудия. Проекция импульса системы на вертикальное направление в течение выстрела изменяется, так как часть импульса орудия передается Земле, поэтому систему нельзя считать замкнутой. Однако можно считать, что проекция результирующей внешней силы на ось (см. рис. 8) равна нулю, и, следовательно, проекция импульса системы на горизонтальное направление остается постоянной:

. (5)

Подставив проекции импульса системы до (формула (1)) и после (формула (4)) выстрела в равенство (5), получим:

. (6)

Отсюда

. (7)

Следовательно,

. (8)

Модуль скорости отката орудия после вылета снаряда

, (9)

так как проекции скорости орудия на оси и равны нулю.

Подставив в уравнение (9) данные задачи, получим: м/с.

Ответ: , м/с.

Задача 8. Два маленьких шара подвешены на нитях одинаковой длины так, что поверхности шаров соприкасаются. Расстояние от точек подвеса до центров масс шаров одинаково и равно 0,3 м. Масса первого шара – 400, второго – 200 г. Нить, на которой подвешен первый шар, отклоняют на некоторый угол и отпускают. Найти этот угол, если известно, что при абсолютно неупругом ударе шаров выделилась тепловая энергия 98 мДж. Радиусы шаров считать много меньшими длины нитей.

Дано: г г l = 0,3 м = 98 мДж	СИ 0,4 кг 0,2 кг 0,098 Дж
 ?

Решение.

Так как расстояние от точки подвеса до цент-ра масс каждого шара много больше радиусов шаров, шары можно считать материальными точками, массы которых сконцентрированы в центрах масс шаров. Будем отсчитывать высоту и потенциальную энергию в поле тяжести от уровня, на котором расположены центры масс шаров, вертикально висящих на нитях и находящихся в равновесии.

Рассматриваемые при решении состояния системы шаров изображены на рис. 9. Начальному состоянию, представленному на рис. 9, а, соответствует положение первого (левого) шара массой на высоте при отклонении держащей его нити на угол . Второй (правый) шар массой покоится в положении равновесия на вертикально висящей нити. Скорость, а значит, и кинетическая энергия шаров, равна нулю, следовательно, полная механическая энергия системы равна потенциальной энергии первого шара.

Непосредственно перед ударом (рис. 9, б) потенциальная энергия шаров равна нулю. Первый шар движется со скоростью , второй – покоится. Следовательно, механическая энергия системы до удара равна кинетической энергии первого шара:

, (1)

а импульс системы равен импульсу первого шара:

. (2)

. (3)

Сразу после удара (рис. 9, в) шары движутся как одно целое со скоростью (по условию задачи удар абсолютно неупругий), поэтому импульс системы равен векторной сумме импульсов обоих шаров:

. (4)

Потенциальная энергия шаров остается равной нулю, поэтому механи-ческая энергия системы равна кинетической энергии шаров:

. (5)

При переходе системы из первого состояния во второе (при падении первого шара в поле силы тяжести Земли) сила натяжения нити работы не совершает, так как в любой момент времени движения она перпендикулярна перемещению,

а диссипативные силы трения и сопротивления воздуха пренебрежимо малы, поэтому полная механическая энергия шара остается постоянной:

. (6)

При движении шара его потенциальная энергия убывает и переходит в кинетическую. Подставим правые части равенств (1) и (2) в формулу (6):

. (7)

При переходе системы из второго состояния в третье (при абсолютно неупругом ударе) в течение кратковременного взаимодействия шаров на них действуют внешние силы: тяжести и натяжения нитей. Векторная сумма этих сил равна нулю, поэтому выполняются закон сохранения импульса:

(8)

и закон сохранения энергии (часть механической энергии системы переходит в тепловую ):

. (9)

С учетом равенств (3) и (4) формула закона сохранения импульса (8) примет вид:

. (10)

Векторы в левой и правой частях формулы (10) равны, поэтому равны и их модули:

. (11)

С учетом выражений (2) и (5) уравнение (9) примет вид:

. (12)

Из рис. 10 видно, что , отсюда

. (13)

Решая совместно уравнения (7), (11)  (13), найдем угол :

. (14)

Подставив в уравнение (14) данные задачи, получим: °.

Ответ: ; °.

Задача 9. Пуля массой 20 г летит горизонтально со скоростью 100 м/с и сталкивается с шаром массой 2 кг, подвешенным на нити. Найти импульс шара после удара и долю энергии пули, переданной шару при ударе, если удар лобовой и абсолютно упругий.

Дано: m1 = 20 г m2 = 2 кг v1 = 100 м/с	СИ 0,02 кг
, η  ?

Решение.

Выберем начало отсчета потенциальной энергии системы в поле тяжес-ти Земли на высоте, на которой находятся пуля и центр шара в момент удара. Тогда до удара (рис. 11, а) и сразу после него (рис. 11, б) потенциальная энергия равна нулю.

В течение кратковременного взаимодействия при ударе на шар действуют силы тяжести и натяжения нити, которые уравновешивают друг друга. Сила взаимодействия пули с шаром является внутренней и не меняет полный импульс системы. Если пренебречь силой тяжести, действующей на пулю, малой по сравнению с силой взаимодействия, то можно считать, что результирующая сила, действующая на систему, равна нулю. Следовательно, выполняется закон сохранения импульса:

, (1)

где , – импульсы системы до и после удара.

При абсолютно упругом ударе (согласно его определению) диссипации механической энергии не происходит и наряду с законом сохранения импульса при ударе сохраняется механическая энергия:

. (2)

где , – механическая энергия системы до и после удара.

Так как до удара шар покоился, импульс и механическая энергия системы равны импульсу и кинетической энергии пули соответственно:

; (3)

. (4)

Импульс и механическая энергия системы после удара рассчитываются по формулам:

; (5)

. (6)

После подстановки формул (3) и (5) в уравнение (1) оно примет вид:

. (7)

Запишем равенство (7) в проекциях. Будем рассматривать движение пули и шара относительно системы отсчета, в которой ось (рис. 11). Столкновение тел лобовое, поэтому ненулевыми будут проекции скорости тел только на ось ОХ:

. (8)

Следовательно,

; (9)

. (10)

Преобразовав формулу (7) с учетом выражений (4), (6), (9) и (10), получим:

. (11)

Решение системы уравнений (8), (11) имеет вид [2, 3, 5]:

. (12)

С учетом равенства (11) выражение для импульса шара после удара примет вид:

. (13)

Таким образом, направление импульса совпадает с направлением скорости .

Для расчета значения модуля импульса используем данные задачи: кг·м/с.

Энергия, которую передает пуля шару, равна кинетической энергии шара после удара: . Энергия пули до удара описывается формулой (4). Доля энергии, которую пуля передает шару,

. (14)

Подставим данные задачи в формулу (14):

.

Ответ: , , кг·м/с;

, .