Задача оптимизации времени выполнения проекта
Оптимизация сетевого графика представляет процесс улучшения организации выполнения комплекса работ, целью которого является сокращение длины критического пути, рационального использования ресурсов и др.
Решение задачи минимизации общей продолжительности проекта
Сетевой график составляется после распределения всех ресурсов по каждой работе. Эти ресурсы определяют время выполнения работ. На сетевом графике не все работы критические. Поэтому можно уменьшить время за счет резервов на некритические работы, можно уменьшить время их выполнения и тем самым получить новый срок выполнения работ, меньший . Оптимальный сетевой план будет такой, когда получится наименьшим из всех возможных в данных условиях.
Обозначим ресурсы по работам а1, а2…., соответственно b1, b2….
Пусть работа аi со временем ее выполнения ti, лежит на критическом пути, а аk – некоторая работа, лежащая на некритическом пути, и время ее выполнения – tk.
Механизм
перераспределения средств включает
уменьшение средств работы аk
на некоторую величину xi<
bk,
что приводит к увеличению ее времени
выполнения
=φ(xk)>
tk.
Средства xk,
вложенные в работу аi,
то есть xk=
xi,
приводят к
уменьшению времени ее выполнения:
<
tk.
В практике выполнения
расчетов φ(xk)
и
обычно представляют приближенными
линейными выражениями вида:
;
(14)
Обозначают
- коэффициент пересчета.
Тогда формулы (14) примут вид:
;
При таких операциях
должно выполняться условие: сумма снятых
с некритических работ средств должна
равняться сумме вложенных средств на
критические работы:
,
где М
– число работ, на которые средства
вкладывались, а N
– число работ, с которых средства
снимались.
Общий срок выполнения всего комплекса работ определяется целевой функцией:
(15)
Здесь i – номера тех работ критического пути, средства которых не изменились.
Требуется так перераспределить средства с некритических работ на критические, чтобы функция (15) приняла наименьшее значение.
Сколько средств
можно взять с некритической работы?
Ясно, что все взять нельзя. Снимаемые
средства определяют наличием резервов
времени. Пусть свободный резерв времени
работы аk
равен RC(аk).
Тогда должно выполняться условие tk
xkск≤
RC(аk),
откуда xk≤
- ограничение на снимаемые с работы аk
средства.
Замечание. Если снимаются средства с работы аk, лежащей на пути L, то нельзя вкладывать данные средства в другую работу, лежащую на этом пути, которая является также частью критического пути.
Решение задачи оптимизации состоит в последовательном переносе средств с некритических работ на критические, переходе от одного пути к другому до тех пор, пока все работы не будут находиться на критических путях и иметь резервы. В этом случае длительность всех путей станет одинаковой.
Пример
Провести оптимизацию сетевого графика (рис.9) по критерию минимума времени выполнения всех работ комплекса; построить оптимальный сетевой план работ; определить экономию. При условии, что с1=0,1; с2=0,2; с3=0,3; с4= 0,4; с5= 0,5; с6=0,6; с7=0,7; с8=0,9; с9= 0,8; с10= 1,0; с11= 1,1; с12=1,2.
Решение
Выявленные свободные резервы позволяют провести оптимизацию сетевого графика, связанную с лучшим перераспределением выделенных ресурсов, и построить план выполнения всего комплекса работ за меньшее время, то есть более экономный.
Оптимизацию сетевого графика проводят путем переноса части средств с некритических работ на критические, фиксируя при этом номера работ, с которых средства снимаются и на которые переносятся.
Переносятся резервы с некритических работ на критические, будут увеличивать некритический путь и уменьшать критический до тех пор, пока не совпадут длительность всех путей.
Располагают длительность всех путей последовательно в порядке увеличения их резервов и начинают оптимизацию с первой пары путей L1,L3.
На первом этапе оптимизации переносим
резервы с некритического пути L3
некритические работы а8,
имеющей свободный резерв времени
R8=RC(а8)=7.
Берется часть средств x8
работы а8 и переносятся
на работу а2 критического
пути. Эти средства на работе а2
обозначим x2.
Тогда длительность новых критических
путей:
<
Величину переносимых средств x8 можно определить, решив систему:
(16)
При ограничении
По условию: T1=50; T3=43; с2=0,2; t2=16; с8=0,9; t8=14; R8=7.
Поэтому система (16) примет вид:
Отсюда: x8 =0,443.
Ограничение
выполнено.
Новое время выполнения работ а8,
а2 находятся по формулам:
;
;
новый критический срок
.
Имеется:
На втором этапе рассматривается следующий ближайший некритический путь L4, на котором у работы а11 имеется свободный резерв времени:
Снимаемая с работы а11
часть средств x11
должна удовлетворять условию:
.
Средства x11
переносятся на работу а2
в количестве
и
на работу а8 в размере
для
ускорения выполнения работ первого и
третьего путей.
Для нахождения величин переносимых средств составляют систему уравнений:
(17)
Подставив в систему (17): с2
=0,2;
14,592;
с8 =0,9;
19,582;
48,583;
T4 =
41; с11 = 1,1; t11
= 4.
Имеют:
Следовательно, x11
= 1,098;
0,154;
0,944.
Ограничение
=
>1,098=
x11 выполнено.
Новое время выполнения работ а2, а8, а11 находим по формулам:
Имеют:
Новый критический путь:
На третьем этапе рассматривают на последнем пути L2 наличие резерва времени у работы а7 . Свободный резерв времени у работы а7 равен:
Снимают средства x7
и записывают условие допустимости
.
Переносим резервы x7
некритической работы а7
на работы а2, а8,
а11 остальных критических
путей в размерах
,
,
соответственно
и составляют систему уравнений:
(18)
Решая эту систему при числовых данных:
с2 =0,2; с8 =0,9;
с11 =1,1; с7
=0,7; t7 = 6;
11,834;
16,880;
8,816;
45,831;
T2 = 37.
Получается:
=1,071; =0,167; =0,261; x7 =1,499.
Ограничение
>1,499=
x7 выполнено.
Новое время выполнения работ а2, а8, а11, а7 вычисляется по формулам:
Новый критический путь:
Экономия 50 – 43,7 = 6,7 дня.
Строят оптимальный план работ (рис.10).
Рисунок 10 – Оптимальный календарный план