Временные параметры сетевых графиков
В (табл. 1) приведены основные временные параметры сетевых графиков.
Таблица 1 – Временные параметры сетевых графиков
Элемент сети, характеризуемый параметром |
Наименование параметра |
Условное обозначение параметра |
Событие i |
Ранний срок свершения события Поздний срок свершения события Резерв времени события |
tР (i) tП (i) R(i) |
Работа (i, j) |
Продолжительность работы Ранний срок начала работы Ранний срок окончания работы
Поздний срок начала работы Поздний срок окончания работы
Полный резерв времени работы Свободный резерв времени работы |
t (i, j) tРН (i, j) tРО (i, j) tПН (i, j) tПО (i, j)
RП (i, j) RС (i, j) |
Путь L |
Продолжительность пути Продолжительность критического пути Резерв времени пути |
t (L) tКР R(L) |
Событие не может наступить прежде, чем свершатся все предшествующие работы. Поэтому ранний срок tР (i) свершения i – того события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию: tР (i)=max t(LПi), где LПi – любой путь, предшествующий i – тому событию, то есть путь от исходного до i –того события сети.
Ранний срок свершения события i – это самый ранний срок, к которому завершаются все работы, предшествующие этому событию.
Если событие i имеет несколько предшествующих работ (рис.5), то ранний срок свершения события i находится так:
Пусть B(i) – множество работ, непосредственно предшествующих событию i. Тогда
tР
(i)=max{
tР
(k)+
t
(k,i)},(k,i)
B(i)
(1)
Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и длины максимального из последующих за ним путей не превысит длины критического пути.
Рисунок 5
Рисунок 6
Поэтому поздний срок tП (i) свершения i – того события равен:
tП (i)=tКР – max t(Lci), где Lci – любой путь, следующий за i –м событием, то есть путь от i –того до завершающего события сети.
Если событие i имеет несколько последующих работ (рис. 6), то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле:
tП (i)= min{ tП (j)- t (j,i)},(j,i) C(i) (2)
где: C(i) – множество работ (j,i), выходящих из вершины i.
При любом
поздний срок свершения события i
находится так: сначала при i=n
полагают tП
(i)=tР(n)
=tКР,
затем
последовательно для i
равным n-1,
n-2,….1
вычисляют по формуле (2).
Резерв времени i – того события определяется как резерв между поздним и ранним сроком его свершения:
Ri = tП(i) – tР(i) (3)
Резерв времени i – того события показывает, на какой допустимый срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения времени выполнения комплекса работ.
Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события.
Из этого следует, что для определения критического пути (если он единственный) вовсе не обязательно перебирать все полные пути сетевого графика и определять их длины. Определив ранний срок наступления завершающего события сети, определяют длину критического пути, а выявив события с нулевыми резервами времени, определяют его конфигурацию.
Если критических путей несколько, то выявление их с помощью критических событий может быть затруднительно, так как через часть критических событий могут проходить как критические, так и некритические пути. В этом случае для определения критических путей следует использовать критические работы.
Пример
По (рис. 7) рассчитать ранние и поздние сроки свершения событий, а также их резервы. Найти критический путь выполнения комплекса работ и его длину.
Решение
Каждую вершину сети разбиваем на четыре сектора. В верхней части сектора отмечается номер события i, в левой – ранний срок свершения события i, в правой – поздний срок свершения события i, в нижней – резерв времени этого события (рис. 8).
Сначала по формуле (1) находим ранние сроки свершения события i и заносим их в левые секторы сетевого графика. Имеется:
Рисунок 7
Рисунок 8
tР (1)=0;
tР (2)=0+15=15;
tР (3)=15+16=31;
tР (4)=15+6=21;
tР (5)=31+6=37;
tР (6)=21+5=26;
tР (7)=max{37+8;26+6}=45;
tР (8)=26+8=34;
tР (9)= max{45+2;26+14;34+4}=47;
tР (10)=47+3=50.
Теперь рассчитываются поздние сроки свершения событий. Расчет начинается с последнего события и затем, «пятясь», двигается к первому событию.
Для i=10 поздний срок свершения события tП (10)= tР (10)=47+3=50. Далее по формуле (2) имеется:
tП (9)=50-3=47;
tП (8)=47-4=43;
tП (7)=47-2=45;
tП (6)=min{45-6;47-14;43-8}=33;
tП (5)=45-8=37;
tП (4)=33-5=28;
tП (3)=37-6=31;
tП (2)= min{31-16;28-6}=15;
tП (1)=15-15=0.
Результаты расчета заносят в правые секторы вершин сети.
По формуле (3) рассчитывают резервы времени каждого события и заносят их в нижние секторы вершин.
Например:
R(1) =0-0=0;
R(2) =15-15=0;
R(3) =31-31=0;
R(4) =28-21=7 и т.д.
Чтобы рассчитать критический путь фиксируются события, не имеющие резервов времени. Это события 1,2,3,5,7,9,10. Следовательно, путь 1→2→3→5→7→9→10 является критическим.
Длина критического пути tКР= tР (10)=50.
Критический путь отмечается на сетевом графике двойной стрелкой.