Параметры работ

Отдельная работа может начаться в ранние, поздние или другие промежуточные сроки.

Ранний срок t_РН (i, j) начала работы(i, j) – это наиболее ранний (минимальный) из возможных моментов начала данной работы. Он, очевидно, совпадает с ранним сроком наступления ее начального события, то есть:

t_РН (i, j)= t_Р (i) (4)

Тогда ранний срок t_РО (i, j) окончания работы (i, j) определяется по формуле:

t_РО (i, j)= t_Р (i)+ t (i, j) (5)

Поздний срок t_ПО (i, j) окончания работы (i, j) – наиболее поздний момент времени окончания этой работы, после которого остается столько времени, сколько его необходимо для выполнения всех последующих работ. И так как ни одна работа не может окончиться позже допустимого позднего срока своего конечного события j, поздний срок окончания работ (i, j) определяется соотношением:

t_ПО (i, j)= t_П (j) (6)

а поздний срок t_ПН (i, j) начала этой работы – соотношением:

t_ПН (i, j)= t_П (j)- t (i, j) (7)

Из формул (4) – (7) видно, что моменты начала и окончания работы тесно связаны с соседними событиями.

Резерв времени пути R(L) определяют как разность между длиной критического и рассматриваемого пути:

R(L)= t_КР – t(L) (8)

Он показывает, насколько в сумме могут быть увеличены продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути. Если затянуть выполнение работ, лежащих на этом пути, на время, большее, чем R(L), то критический путь переместится на путь L. Отсюда можно сделать вывод: любая из работ пути L на его участке, не совпадающем с критическим путем, обладаем резервом времени.

Среди резервов времени работ выделяют полный и свободный резервы времени.

Полный резерв времени R_П (i, j) работы (i, j) – это максимально допустимое время, на которое можно увеличить продолжительность работы (i, j) или отложить начало ее выполнения так, что это не вызовет задержки выполнения всего комплекса работ. Полный резерв времени работы вычисляется по формуле:

R_П (i, j) = t_П (j)- t_Р (i)- t (i, j)= t_ПО (i, j)- t_РО (i, j) (9)

Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы, если ее начальное событие свершится в самый ранний срок и можно допустить свершение конечного события в его самый поздний срок.

Полный резерв времени работы равен резерву максимального из путей, проходящих через данную работу. При использовании полного резерва времени только для одной работы резервы времени остальных работ, лежащих на максимальном пути, проходящем через нее, будут полностью исчерпаны. Этот путь становится критическим. Резервы времени остальных путей, проходящих через эту работу, сократятся на величину использованного резерва.

Если полный резерв времени некоторой работы равен нулю, то задержка ее выполнения вызовет такую же по времени задержку выполнения всего комплекса работ.

Свободный резерв времени R_С (i, j) работы (i, j) – максимальный запас времени, на который ее можно отложить (если она была запланирована в ранний срок) или увеличить ее продолжительность (если эта работа началась в ранний срок), не изменив при этом раннего срока ее конечного события.

Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события свершаются в свои ранние сроки.

Свободный резерв времени (i, j) находится по формуле:

R_С (i, j) = t_Р (j)- t_Р (i)- t (i, j) (10)

Свободный резерв времени работы является частью полного резерва:

R_П (i, j) = R_С (i, j)+ t_П (j)- t_Р (j) (11)

Если на критическом пути лежит событие j, то R_П (i, j) = R_С (i, j).

Если использовать свободный резерв времени работы, то длина любого пути, проходящего через эту работу, сокращается на величину свободного резерва. На таких путях сохраняются свободные резервы всех последующих работ.

Свободным резервом времени пользуются для предотвращения случайностей, которые могут возникнуть в ходе выполнения работ. Если планировать выполнение работ по ранним срокам их начала и окончания, то всегда будет возможность при необходимости перейти на поздние сроки начала и окончания работ.

Работы, лежащие на критическом пути, так же как и критические события, резервов времени не имеют.

Пример

Вычислить для сетевого графика (рис.7) ранние и поздние сроки начала и окончания работ, их полные и свободные резервы времени. Найти все полные пути, вычислить их длину и резервы времени. Построить сетевой график в масштабе времени.

Решение

Чтобы найти указанные параметры работ, используем формулы (1) – (10), также результаты решения предыдущего примера, оформленные в виде сетевого графика (рис.8).

Результаты расчетов сведены в (табл. 2).

Графа 3 (табл. 2) заполняется с помощью сетевого графика (рис.8). Последовательно выписываются числа, стоящие в левых секторах кружков. Графу 4 (табл. 2) заполняют, складывая числа граф 2 и 3. Затем заполняется графа 6, выбирая последовательно числа из правых секторов кружков сетевого графика. Графа 7 равна разности граф 6 и 4. Графа 8 заполняется на основе формулы: R_С (i, j) = t_Р (j)- t_РО (i, j). Здесь числа t_Р (j) берутся из левых кружков графика 8, а t_РО (i, j) – из графы 4. Для работы а₁=(1,2). Она оканчивается в секторе кружка, моделирующего событие 2, поэтому t_Р (2) =15. Из графы 4 имеется t_РО (1,2)=15. Значит R_С (1,2) = 15-15=0. Для работы а₇=(6,7) имеется t_Р (7)=45; t_РО (6,7)=32. Поэтому R_С (6,7) = 45-32=13 и т.д. Выявляют всевозможные полные пути для выполнения работ комплекса, находят их длину, резервы времени.

Таблица 2 – Результаты расчетов сетевого графика

Работа	Продолжительность t (i, j)	Сроки выполнения				Резервы времени работ
		Ранние		Поздние
		Начало tРН (i, j)	Окончание tРО (i, j)	Начало tПН (i, j)	Окончание tПО (i, j)	Полный RП (i, j)	Свободный RС (i, j)
1	2	3	4	5	6	7	8
а1=(1,2)	15	0	15	0	15	0	0
а2=(2,3)	16	15	31	15	31	0	0
а3=(2,4)	6	15	21	22	28	7	0
а4=(3,5)	6	31	37	31	37	0	0
а5= (4,6)	5	21	26	28	33	7	0
а6= (5,7)	8	37	45	37	45	0	0
а7= (6,7)	6	26	32	39	45	13	13
а8= (6,9)	14	26	40	33	47	7	7
а9= (6,8)	8	26	34	35	43	9	0
а10= (7,9)	2	45	47	45	47	0	0
а11= (8,9)	4	34	38	43	47	9	9
а12= (9,10)	3	47	50	47	50	0	0

L₁:1→2→3→5→7→9→10 – критический путь

L₂: 1→2→4→6→7→9→10

L₃: 1→2→4→6→9→10

L₄: 1→2→4→6→8→9→10

Длина этих путей:

T₁=t(L₁)=t_КР = 15+16+6+8+2+3=50 дней

T₂=t(L₂)=15+6+5+6+2+3=37 дней

T₃=t(L₃)=15+6+5+14+3=43 дня

T₄=t(L₄)=15+6+5+8+4+3=41 день.

Таким образом, длительность максимального пути равна 50 дням, за это время все работы комплекса будут выполнены, то есть 50 дней – это минимальное время для выполнения всех работ комплекса.

Определяются резервы времени по выявленным путям, используя формулу (8):

R(L₁)= t_КР – T₁=0 дней;

R(L₂)= t_КР – T₂=50-37=13 дней

R(L₃)= t_КР – T₃=50-43=7 дней

R(L₄)= t_КР – T₄=50-41=9 дней.

В пределах имеющихся резервов времени общий срок выполнения работ не увеличивается, если не увеличилась длительность выполнения любой из работ критического пути.

Для наглядности выявления резервов времени строится график работ (рис.7) в масштабе времени. Построение начинается с критического пути L₁ в соответствие с правилами сетевого моделирования с учетом изображения длительности работ t₁ в масштабе времени по оси абсцисс. По оси ординат длина стрелок выбирается из соображений удобства восприятия сети в целом. Этим объясняется, например, большая длина стрелки работы а₁₀ по сравнению с а₆, хотя по масштабу времени t₆> t₁₀. В результате получается сетевой график (рис.9).

Рисунок 9 – Сетевой график работ в масштабе времени

При построении сетевого графика в масштабе времени сталкиваются с необходимостью введения фиктивных работ (пунктирные стрелки) и фиктивных событий . Время выполнения этих фиктивных работ равно нулю, а их структура показывает расположение свободных резервов времени:

R₇= R_С(6,7)=13 дней

R₈= R_С(6,9)=7 дней

R₁₁= R_С(8,9)=9 дней.