5.4 Оценка случайных погрешностей

Случайная погрешность может проявиться только при многократных измерениях. Колебания случайной погрешности, кажущиеся сначала совершенно беспорядочными, тем не менее, подчиняются в статическом смысле известным законам.

Наиболее распространенным способом оценки точности является среднеквадратическое отклонение:

Здесь ρ_i – случайное отклонение i-го результата x_i от среднеарифметического значения х_ср:

где n – число измерений.

В большинстве случаев случайные погрешности подчиняются нормальному закону распределения плотности вероятности Р от величины ошибки δ:

Этот закон означает, что случайные ошибки, равные по величине, но противоположные по знаку, встречаются одинаково часто. При этом чаще встречаются меньшие погрешности, а большие встречаются тем реже, чем они больше. Графическим выражением нормального закона является рис. 5.1.

Вероятность появления погрешности, находящейся в пределах от δ₁ до δ₂ определяется как интеграл Значения этого интеграла для различных интервалов Δδ приводятся в математических справочниках. Для интервала от ₁= до δ₂ = + ρ = 1, т.е. вероятность появления какой-либо случайной ошибки превращается в достоверность. Интервал ошибок Δδ называется достоверным интервалом, а соответствующая ему вероятность – доверительной вероятностью.

Р(δ)

σ₁

σ₂ > σ₁

σ₂

- δ 0 δ

Рис. 5.1 - График распределения случайных величин

Доверительный интервал принято задавать в величинах среднеквадратического отклонения σ. Так, для доверительного интервала от - 3σ до + 3σ доверительная вероятность равна 0,9973. это означает, что в среднем одно из 370 измерений может дать случайную погрешность по величине больше, чем 3σ: 1 – 0,9973 = 0,0027 1/370.

Средняя квадратическая погрешность результата измерения может быть вычислена по формуле:

Величину σ_а называют еще среднеквадратическим отклонением среднего значения.

Очень часто для оценки величины случайной погрешности используют так называемую вероятную (или срединную) погрешность ε_а. По определению она равна доверительному интервалу, соответствующему доверительной вероятности ρ = 0,5. Для нормального закона .

При ограниченном числе измерений n < 30 вероятная ошибка связана со среднеквадратической погрешностью через коэффициент Стьюдента t_n:

Коэффициент Стьюдента берется из таблиц теории вероятности для доверительной вероятности ρ = 0,5 и для реального числа измерений.

Окончательный результат измерений с учетом случайной ошибки может быть выражен следующим образом:

При выполнении статической обработки результатов измерения иногда приходится проверять действительно ли распределение ошибок подчиняется нормальному закону. Для проверки строят график Z_k = f(x), где х – значение измеренной величины, а . Если этот график хотя бы в пределах х_ср ± σ представляет собой прямую, то реальное распределение близко к нормальному.