А) Зависимость момента от потока ф и активной составляющей тока ротора .

Вращающий момент в асинхронной машине, как отмечалось, создается в результате взаимодействия вращающегося поля и токов, наведенных им в обмотке ротора. Его значение можно найти, исходя из закона электромагнитных сил.

На рис. 3-42 представлены кривые распределения индукции В и наведенных в обмотке ротора токов i₂по окружности ротора асинхронного двигателя, причем эти кривые приняты синусоидальными.

Рис. 3-42. Распределение индукции В, токов i₂ и тангенциальных сил f по окружности ротора.

При постоянных напряжении на зажимах статора и нагрузке на валу двигателя (s = const) обе кривые имеют неизменные амплитуды B_м и I_2м и остаются неподвижными одна относительно другой. Сдвиг между ними равен Ψ₂ (в электрических радианах) в соответствии со сдвигом по фазе э.д.с. и тока ротора.

Электромагнитная сила, действующая в тангенциальном направлении на проводник с током,

.          (3-107)

Возьмем проводник, сдвинутый на угол ξ (в электрических радианах) относительно нулевого значения индукции. Индукция в месте, где находится проводник, B = B_мsinξ; ток в этом проводнике . Следовательно,

.          (3-108)

На рис. 3-42 (вверху) показана кривая распределения тангенциальных сил f на окружности ротора, найденная согласно (3-108). На этом же рисунке (внизу) показаны тангенциальные силы, приложенные к ротору.

Кривые В и i₂ относительно статора вращаются с синхронной частотой ω₁. С такой же частотой относительно статора вращается кривая f; относительно ротора она вращается с частотой sω₁.

Среднее значение тангенциальных сил f, необходимое для расчета момента, определяется следующим образом:

.         (3-109)

Общую силу F, действующую на ротор, найдем, умножив среднюю силу f_ср на число проводников N₂ обмотки ротора:

.          (3-110)

Вращающий момент равен произведению силы F на плечо , где D'—диаметр ротора:

.          (3-111)

Учитывая, что

; ; ; ,

получим, Дж:

.          (3-112)

Формула (3-112) справедлива для обмотки ротора, выполненной в виде беличьей клетки. В общем случае для любой обмотки ротора необходимо учесть укорочение шага и распределение по окружности ротора катушек катушечной группы. Для этого нужно ввести в (3-112) обмоточный коэффициент k₀₂, тогда момент, Дж,

          (3-113)

или момент, кг.м,

.          (3-114)

Если помножить (3-113) на ω₁, и при этом учесть, что

; ; ,

то получим выражение для электромагнитной мощности:

.

Точно такое же выражение для Р_эм мы получили при помощи векторной диаграммы двигателя (§ 3-10).

Формула (3-113) показывает, что М зависит от величин Ф, I₂ и cos, которые в свою очередь зависят от скольжения. Поэтому она не дает в явной форме зависимости М от скольжения или от частоты вращения. Однако вывод выражения (3-113) помогает уяснить физическую картину образования электромагнитного момента М.

Б) Зависимость момента от скольжения.

 Зависимость М = f(s) при исследовании рабочих свойств асинхронной машины имеет важное значение. При определении этой зависимости устанавливается также влияние на вращающий момент напряжения U₁ на зажимах статора и параметров машины. Она может быть найдена из уравнений напряжений и токов (3-98) и уравнения мощностей (3-69), которые мы еще раз напишем в следующем виде:

;          (3-115)

;          (3-116)

;          (3-117)

, (3-118)

где (по аналогии с трансформатором)

;          (3-119)

;          (3-120)

.          (3-121)

Из (3-117) и (3-116) найдем:

.          (3-122)

Подставляя найденное значение I_0c в (3-115), получим:

.          (3-123)

Из последнего равенства следует:

.          (3-124)

Разделив числитель и знаменатель правой части на Z₁₂, будем иметь:

,          (3-125)

где

.          (3-126)

Для нормальных асинхронных двигателей мощностью Р_н > 12 кВт угол γ₁ по абсолютной величине обычно меньше 1° и имеет отрицательное значение; модуль с₁ = 1,05  1,02.

Подставив в (3-116) значение  из (3-122) и затем в найденное равенство  из (3-125), получим:

.          (3-127)

Учитывая равенства (3-120) и (3-121) и принимая С₁ = c₁, можем написать согласно (3-127) формулу для модуля тока:

.          (3-128)

Теперь можем найти искомую зависимость M = f(s), подставив в (3-118) полученное значение :

.          (3-129)

В найденном уравнении параметры r₁, x₁,  и с₁ приближенно считаются постоянными. Следовательно, М зависит только от s (при U₁ = const). Отметим здесь также, что при данном s момент пропорционален квадрату напряжения .

На рис. 3-43 представлена кривая M = f(s), построенная по уравнению (3-129). Она показывает, что вращающий момент имеет два максимума: один при s>0, другой при s<0.

Рис. 3-43. Кривая зависимости вращающего момента М от скольжения s трехфазной машины.