- •Введение
- •Об общих методах экспериментальных исследований
- •Лекция 2 Ограничения математического анализа
- •Ограничения ненаправленного эксперимента
- •Безразмерные соотношения и их значение
- •Лекция 3
- •Лекция 4. Проведение исследования
- •Способы представления экспериментальных данных
- •Представление данных с помощью таблиц
- •Лекция 5. Табличные разности
- •Лекция 6
- •1. Полуэмпирические и эмпирические уравнения.
- •2. Выбор подходящего вида для эмпирической формулы.
- •Лекция 7
- •3. Проверка пригодности эмпирической формулы для представления совокупности данных.
- •Лекция 8 Моделирование механических явлений в реальных средах
- •Основные законы механики сплошной среды
- •Закон сохранения массы (уравнение неразрывности)
- •Понятие модели, классификация моделей
- •Построение моделей
Безразмерные соотношения и их значение
Как мы уже видели выше, П – теорема дает результаты обладающие по крайней мере тремя преимуществами по сравнению с размерными соотношениями. Во-первых, соотношение, выведенное таким образом, не зависит ни в числовом, ни в размерном отношении от выбранной системы используемых единиц. Во-вторых, число членов обычно сводится к числу входящих размерных категорий ( в очень редких случаях). В-третьих, переменные группируются таким образом, что облегчает дальнейшее изучение их функциональной зависимости.
Примеры:
Eu = 1 (давление изменяется в долях скоростного напора)
Иногда считают, что П – теорема дает ключ к пониманию самой функциональной зависимости. Но так бывает лишь в исключительных случаях, обычно эта теорема лишь упрощает выражение информации, полученной первоначальным подбором информации.
Лекция 3
Если в задаче n – r = 1, то результат имеет простейший вид:
,
Откуда следует, что .
Этот случай в гидромеханике рассмотрен Рейнольдсом. Rкр.min – переход от турбулентного к ламинарному течению
Можно привести еще несколько примеров подобного рода: на границе между реками и быстрыми потоками ; гидростатическое давление , и т.п.
Если в задаче задано n – r = 2, то ни П1, ни П2 не могут уже быть постоянными (один меняется в зависимости от другого). Представим себе, каким бы было графическое изображение результатов экспериментов по изучению сопротивления в трубах. Задача имеет 5 параметров. В упрощенном виде все сводится к одной кривой
на двухмерном графике.
Не следует забывать, что выбранные для двух групп переменные, не единственно возможные. Каждая группа может отличаться от другой одной переменной, следовательно, в рассмотренном примере могут существовать 5 групп, образованных из пяти переменных. В каждой группе может быть опущена одна из переменных:
Между этими пятью величинами возможно десять простых функциональных комбинаций (не считая комбинаций производных).
Каждое из этих соотношений в равной степени обосновано и не содержит иных параметров, чем другие. Однако, одно и более могут иметь особое значение. Например, числа Re,P и т.д.
Продолжая эти рассуждения далее, найдем, что при n - r = 3 , три безразмерных комплекса будут представлять криволинейную поверхность в трехмерном пространстве. Можно конечно представить результат в виде серии плоских кривых, где один из комплексов фигурирует в виде параметра-
В заключении отметим, что, хотя применение самой π-теоремы является автоматическим и осуществляется уже после выбора переменных, успех последующего анализа целиком зависит от выбора этих переменных. Этой важной стороне вопроса нужно уделять особое внимание.
Порядок проведения исследований.
Выбор первичных переменных
Согласно уравнению (*) каждая переменная рассматривается как независимая от других. Однако, положение дел таково, что все переменные, кроме одной можно считать независимыми и контролировать их изменение. Эта одна переменная и является в действительности зависимой. Но это утверждение не бесспорно т.к. бывают случаи, когда все переменные независимы и искать межу ними функциональную связь бессмысленно. Пренебрежение относящейся к рассматриваемой задаче независимой переменной так же опасно, как и пропуск зависимой переменной т.к. уравнение (*) не делает между ними различия. Иногда бывает так, что некоторая величина в условиях опыта не является независимой переменной (например, ускорение силы тяжести), но это не дает основание ее не учитывать. Бывает важно знать относительное влияние на безразмерную группу.
Включение в исследование более одной зависимой переменной такая же серьезная ошибка, как и ее пропуск, т.к. это влечет за собой избыток безразмерных групп и результат становится опять бессмысленным.
С другой стороны, введение переменных, которые не имеют отношения к задаче, не является непоправимой ошибкой, т.к. (если они не являются составляющими каждого члена) они приведут к образованию безразмерных групп. Которые будут признаны излишними. Итак, при выборе переменных, мы оказываемся как бы между двух огней: при недостаточном числе переменных функция будет неполной; при избыточном числе переменных функция либо невозможна, либо непригодна для исследования. Первая опасность должна быть устранена до применения π-теоремы. Все переменные в механике относятся к одному их трех классов: те, которые определяют геометрия границ, те, которые определяют деформацию и те которые определяют физические свойства объекта. Геометрические переменные могут иметь форму длин, площадей, объемов или даже тригонометрических функций. Переменные, определяющие деформации, могут включать время, скорость, ускорение, интенсивность си и их градиенты, интегральные величины и моменты, а также количество движения и энергию. Физические переменные – это плотность, динамическая вязкость, поверхностное натяжение, упругость, пластичность и т.д. Обычно только два, самое большое три свойства играют существенную роль. Например, из геометрических переменных, вполне достаточно одной, чтобы определить линейный масштаб. Вообще следует добиваться упрощения, а не усложнения. Так, например, из трех независимых переменных длина, скорость, расход, лучшими будут длина и скорость, чем скорость и расход. Включение всех трех излишне, а принятие лишь одной будет неверным. Если должны приниматься во внимание другое переменные, например давление, то проще выразить все свойства , включая и гравитационные, в динамической задаче.
Выбор параметров
При выборе «m» переменных, которые встречаются в каждой из безразмерных групп, следует удовлетворять двум условиям: во-первых - повторяющиеся переменные должны включать все «m» размерных категорий и, во-вторых – они не должны сами по себе образовывать безразмерные группы.
Если первое требование не будет выполнено, то будет невозможно объединить эти переменные с теми. Которые содержат действительно недостающие размеры.
С другой стороны, если повторяющиеся переменные могут быть объединены между собой (например, скорость, плотность, и давление, которые дают число Эйлера ), то они не могут объединяться с другими переменными, не подходящими к ним по размерам. Какие из величин, удовлетворяющих данным требованиям, должны быть выбраны, зависит от ожидаемых результатов.
Обычно контроль за выбором π - членов идет по одному из двух направлений, или какая-нибудь переменная преднамеренно исключается из всех членов, кроме одного, или она включается в какой-нибудь член.
Так, например, плотность желательно иметь во всех группах а вязкость достаточно иметь в одном π – члене. Хотя прямое применение π – теоремы приводит к обязательно появлению одних и тех же переменных в каждом члене, но это не единственно возможное для них объединение. Если справедливо равенство , то будет справедливо и . Другими словами, различные π – члены, получаемые на основании теоремы, можно произвольно объединить друг с другом, непременно выполняя одно условие: количество независимых безразмерных групп после объединения не должно изменятся. Такое объединение часто приводит к тому, что переменные, общие для двух объединенных групп, будут взаимно уничтожаться(для этого и проводится объединение), в результате чего одна или более переменных исчезнут из данной группы.
Разнообразные комбинации переменных бывают очень удобными, но нельзя заранее предсказать, какую комбинацию следует предпочесть. Это обнаруживается я с помощью математического анализа и эксперимента. Полезно использовать предыдущий опыт исследования родственных проблем. Но в любом случае понятие размерности приближает нас к намеченной цели, даже если наилучшая группировка переменных заранее не установлена.