6.2. Середня арифметична величина: методика розрахунку та властивості.
Середня арифметична величина є найбільш поширеним видом середньої. Вона використовується у тому випадку, коли обсяг варіюючої ознаки одержується як сума індивідуальних значень. Середня арифметична величина має таку загальну логічну формулу розрахунку:
.
У тому випадку, коли середня величина визначається на основі індивідуальних, тобто незгрупованих даних, використовується формула середньої арифметичної простої:
Наприклад, відомий рівень місячної оплати за житлово-комуальні послуги 12 сімей: 286, 378, 183, 295, 363, 280, 276, 292, 358, 265, 275, 373 грн. Середній рівень оплати становить:
Якщо вихідні дані є результатом групування, тобто відомий дискретний або інтервальний ряд розподілу, використовується формула середньої арифметичної зваженої:
де х – варіанти; f – частоти; m – число груп.
Наприклад, відомий дискретний ряд розподілу пацієнтів за терміном їх госпіталізації у днях:
Число днів госпіталізації (х) |
Число пацієнтів (f) |
xf |
8 |
2 |
16 |
9 |
5 |
45 |
10 |
9 |
90 |
11 |
12 |
132 |
12 |
10 |
120 |
13 |
11 |
143 |
14 |
8 |
112 |
15 |
5 |
75 |
16 |
1 |
16 |
19 |
1 |
19 |
Разом |
64 |
768 |
У багатьох випадках вихідні дані для визначення середньої арифметичної являють собою інтервальний ряд розподілу. Тоді спочатку інтервальний ряд розподілу перетворюється у дискретний шляхом знаходження середини кожного інтервалу, а далі розрахунок здійснюється як у попередньому випадку за формулою середньої арифметичної зваженої.
Наприклад, відомий ряд розподілу за розміром штрафу:
-
Розмір штрафу, грн.
Число штрафів (f)
Середина інтервалу (х)
xf
До 100
4
50
200
100 – 200
20
150
3000
200 – 400
26
300
7800
400 – 600
15
500
7500
600 – 800
8
700
5600
800 – 1000
3
900
2700
1000 – 2000
2
1500
3000
2000 – 3000
2
2500
5000
Разом
80
х
34800
Середній розмір штрафу:
Якщо вихідні дані являють собою результат групування і відомі середні значення показника по кожній групі (групові середні), то розрахунок загальної середньої здійснюється виключно за формулою середньої арифметичної зваженої:
де
-
групові середні величини;
–число
одиниць у і-тій групі.
Наприклад, групування вкладників за розміром вкладу:
Групи за розміром вкладу |
Середній розмір вкладу, грн. |
Число вкладників, чол. |
|
Невеликий |
2300 |
2130 |
4899000 |
Середній |
5700 |
650 |
3705000 |
Великий |
14200 |
97 |
1377400 |
Разом |
х |
2877 |
9981400 |
Загальна середня дорівнює:
Середня арифметична величина має ряд властивостей, що використовуються при обчисленнях:
При збільшенні або зменшенні кожної частоти в к разів, середня не зміниться.
2. При збільшенні або зменшенні кожної варіанти в к разів середня зміниться в стільки ж разів.
або
3. При збільшенні або зменшенні кожної варіанти та сталу величину А, середня зміниться на цю ж величину.
4. Сума відхилень значень ознаки (варіант) від середньої арифметичної дорівнює нулю:
5. Середня арифметична, що помножена на чисельність сукупності, дорівнює обсягу ознаки.
6. Сума квадратів відхилень варіант від середньої арифметичної є мінімальною величиною із всіх можливих.
Властивість 1 свідчить про те, що середню арифметичну можна визначити як за абсолютними, так і за відносними частотами.
Властивості 2 та 3 використовуються для спрощення підрахунків середньої арифметичної зваженої в інтервальних рядах розподілу (метод «моментів»). Середнє значення при використанні цього методу визначається за формулою:
де: m1 — момент першого порядку;
і — величина інтервалу;
А — середина інтервалу з найбільшою частотою.