5.2.5 Структурные средние

Особым видом средних величин являются структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся данным ее расчет не может быть выполнен.

В качестве структурных средних чаще всего используют моду и медиану.

Мода – наиболее часто встречающееся значение признака в ряду распределения. В дискретном ряду распределения модальное значение определяем по наибольшей частоте (частости). В интервальном ряду с равными интервалами величина моды определяется:

где

х_Мо – нижняя граница модального интервала;

f_{Мо –} частота модального интервала;

f_Мо-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f_Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Так, рассчитаем модальное значение заработной платы по данным таблицы 5.2.2. Наибольшая частота встречаемости приходится на последний интервал, где месячная заработная плата от 10000 руб. и выше.

М₀=10000+500 =10016 руб.

Следовательно, модальным значением заработной платы является 10016 руб.

Если расчет модального значения выполняется по рядам распределения с неравными интервалами, то в формуле моды все частоты (в абсолютном и относительном виде) заменяются плотностями, то есть отношением частоты к ширине соответствующего интервала. По максимальному значению плотности определяется номер модального интервала. Рассмотрим расчет модального возраста работников по примере данных таблицы 5.2.4.

Таблица 5.2.4 Распределение работников предприятия по возрасту

Возраст работников, лет	Число работников, %	Ширина интервала	Плотность распределения	Сумма накопленных частот
15-19	1,6	5	0,32	1,
20-24	8,8	5	1,76	10,4
25-29	8,6	5	1,72	19,0
30-49	61,5	20	3,075	80,5
50-54	7,5	5	1,50	88,0
55-59	8,5	5	1,70	96,5
60-72	3,5	13	0,27	100,0
ИТОГО	100,0	-	-	-

Так, модальным интервалом среднего возраста работников будет возраст от 30 до 49 лет. Значение моды в этом интервале определится как

М₀=30+20 =39,25 года

Следовательно, среди работников преобладает группа 39-летних работников.

Медиана – это вариант, который расположен в середине вариационного ряда и делит этот ряд пополам. Чтобы найти медиану, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда. В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера медианы.

Например, ряд состоит из показателей заработной платы 9 рабочих в месяц:

7500, 7850, 8100, 8230, 8770, 8810, 8920, 9300, 9500.

Номер медианы для нечетного объема совокупности вычисляется по формуле:

, где

n – число единиц ряда.

В нашем примере номер медианы равен 5, медиана равна 8770 руб. (то есть одна половина рабочих получила зарплату менее 8770 руб., другая – более 8770 руб.)

770 руб.- более вина рабочих получила зарплату на 8770 руб. уле:

т 30 до 49 лет. относительном виде) года: 0000000000000000000 В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда.

В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равных по численности части) оказывается в каком-то из интервалов признака х. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полусумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется линейной интерполяцией по формуле:

, где

Хм_е – нижняя граница медианного интервала;

i – ширина медианного интервала;

- половина общего числа наблюдений;

S_Me-1 – сумма наблюдений, накопленная до начала медианного интервала;

f_Me – частота наблюдений в медианном интервале.

Рассчитаем медиану по данным таблицы 5.2.4. Прежде всего найдем медианный интервал. Таким интервалом будет интервал 30-49 лет, поскольку его кумулятивная частота 80,5%, что превышает половину суммы всех частот (50%). Нижняя граница интервала 30 лет, его частота – 61,5%, частота, накопленная до него – 19,0%.

лет

Полученный результат говорит о том, что 50% работников моложе 38 лет, другая половина – старше 38 лет.

Мода и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

Аналогично медиане вычисляются значение признака, делящие совокупность на четыре равные части – квартели, на пять равных частей - квинтели, на десять частей – децели, на сто частей – перцентели.