1.4. Определение формы потери устойчивости

При известном параметре F_cr все единичные реакции r_ikмогут быть вычислены, но матрица r при этом получается вырожденной, что следует из уравнения (1.15). Поэтому числовые значения основных неизвестных определить невозможно. Физический смысл неопределенности Z состоит в том, что, согласно предпосылкам линейной теории устойчивости, равновесие системы в закритическом изгибном состоянии считается безразличным, и критическому значению параметра нагрузки F_cr соответствует бесчисленное множество значений характерных перемещений (горизонтальный участок графика на рис. П.3 и П.6 Приложения, где в качестве  может выступать любое из перемещений Z₁,…, Z_n ).

Форма потери устойчивости выявляется с точностью до неопределенного параметра, то ecть могут быть найдены отношения основных неизвестных. Для этого канонические уравнения делятся на некоторое Z_k 0, в результате чего получается система уравнений

= 0, (1.22)

где _z = = [ _z₁ _z₂ …_z_i …_z_,_k_-1 1 _z_,_k₊₁ …_z_n ]^T –

вектор отношений перемещений (по смысловой аналогии с

соответствующей задачей линейной алгебры будем назы-

вать _z собственным вектором перемещений); _z_i = Z_i/Z_k .

Поскольку _z_k = 1, система (1.22) превращается в неоднородную:

(1.23)

где ; ; r_k= .

Вектор отличается от _z отсутствием _z_k = 1.

Так как уравнений (1.23) на единицу больше, чем неизвестных , то любое из уравнений может быть отброшено, после чего из оставшейся системы (n–1)-го порядка определяется собственный вектор , компоненты которого позволяют выразить все перемещения Z₁,…,Z_n через одно из них:

Z_i = .

^*) С точностью до погрешности расчета.

Если расчет на устойчивость выполнен с использованием совершенной основной системы, то по полученному собственному вектору перемещений можно оценить, какая форма потери устойчивости реализуется – общая или местная (в последнем случае отличным от нуля^*)будет

лишь один компонент вектора _Z , соответствующий тому основному неизвестному, которое описывает выпучивание стержня, локально теряющего устойчивость).

При одновременной местной потере устойчивости нескольких элементов собственный вектор _Z вычислить невозможно, так как перемещения локальных форм независимы.

Выявление формы потери устойчивости имеет практическое значение: ее анализ позволяет принимать обоснованные инженерные решения по внесению эффективных изменений в проект конструкции или существующее сооружение с целью повышения устойчивости.