Числа в системах счисления

Десятичная	Двоичная	Вось-миричная	Шестнадцатеричная	Двоично-кодированная десятичная	Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная	Двоично-кодированная десятичная
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100	00 01 02 03 04 05 06 07 10 11 12 13 14	00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0А 0В 0С	00000000 00000001 00000010 00000011 00000100 00000101 00000110 00000111 00001000 00001001 00010000 0010001 00010010	13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24	01101 01110 01111 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000	15 16 17 20 21 22 23 24 25 26 27 30	OD OE OF 10 11 12 13 14 15 16 17 18	00010011 00010100 00010101 00010110 00010111 00011000 00011001 00100000 00100001 00100010 00100011 00100100

Например, символ шестнадцатеричной системы счисления D равен числу 13 в десятичной системе счисления. Единица старшего разряда представляется тетрадой 0001, а тройка младшего разряда – тетрадой 0011. Таким образом, запись двоично-кодированного числа равна 00010011_(2/10).

Представление чисел в различных системах счисления допускает однозначное преобразование их из одной системы в другую. В ЭВМ перевод из одной системы в другую осуществляется автоматически по определенным правилам. Правила пере­вода целых и дробных чисел отличаются.

Правило 1. Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием N надо переводимое число последовательно делить на это основание q новой системы счисления, (в которую это число переводится), до тех пор, пока не будет получено частное, меньшее основания q. Число в новой системе счисления запишется цифрами новой системы счисления в виде остатков от деления в порядке обратном, полученному при делении, начиная с последнего частного, представляющего собой старшую цифру числа.

Пример 1.1. Перевести Пример 1.2. Перевести Пример 1.3. Перевести

число 54₍₁₀₎ в двоичную число 348₍₁₀₎ в восьме- число 875₍₁₀₎ в шестнад-

с/с. ричную с/с. цатеричную с/с.

Решение. Решение. Решение.

_54 : 2 _348 : 8 _875 : 16

54 _27 : 2 344 _43 : 8 864 _54 : 16

0 26 _13 : 2 4 40 5 11 48 3

1 12 _6 : 2 3 6

1 6 _3 : 2

0 2 1 11₍₁₀₎ = B₍₁₆₎

1

т.е. 54₍₁₀₎=110110_(2). т.е. 348₍₁₀₎=534₍₈₎. т.е. 875₍₁₀₎=36В₍₁₆₎.

Правило 2. Для перевода правильных десятичных дробей в систему счисления с основанием q умножают исходную дробь последовательно на основание новой системы счисления q (целые части дроби в процедуре умножения не участвуют). Полученные в результате умножения целые части произведения, записанные цифрами новой системы счисления, являются соответствующими разрядами дробного числа в новой системе счисления с основанием q. Число умножений определяет разрядность полученного результата, представляю­щего исходную правильную дробь в системе счисления q.

Пример 1.4. Перевести Пример 1.5. Перевести Пример 1.6. Перевести

число 0,725₍₁₀₎ в двоичную число 0,873₍₁₀₎ в восьме- число 0,27₍₁₀₎ в шестна-

с/c. ричную с/с. дцатеричную с/с.

Решение. Решение. Решение.

0, 725 0, 837 0, 27

х 2 x 8 x 16

1, 450 6, 696 4, 32

х 2 x 8 x 16

0 , 90 5, 568 5, 12

х 2 x 8 x 16

1 , 8 4 , 548 1, 92

х 16

14,72

т.е. 0,725₍₁₀₎ = 0,101₍₂₎ т.е. 0,873₍₁₀₎ = 0,654₍₈₎ т.е. 0,27₍₁₀₎ = 0.451Е₍₁₆₎

Перевод неправильных десятичных дробей в систему счисления с основанием q выполняется отдельно для целой и дробной частей числа по вышеизложенным правилам. Затем эти части соединяются в одну запись - неправильную дробь, представленную уже в новой системе счисления.

Правило 3. Перевод числа из любой системы счисления в десятичную осуществляется представлением этого числа в развернутом виде, а именно - суммы степеней основания, умноженных на цифры переводимого числа, т.е. в виде полинома 1.1. При этом все арифметические действия осуществляются в десятичной системе счисления, а цифры переводимого числа считаются десятичными.

В качестве примеров воспользуемся числами 175,61_(8), 1101,11_(2), A1F,96_(16).

Пример 1.7. 175,61₍₈₎ = 1х8² + 7х8¹ +5х8⁰ +6х8^-1 + 1х8^-2 =

= 64 + 56 + 5 + 0,75 + 0,015625 = 12,765625₍₁₀₎;

Пример 1.8. 1101,11₍₂₎ = 1х2³ + 1х2² + 0х2¹ +1х2⁰ +1х2^-1 + 1х2^-2 =

= 8 + 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 = 13,75₍₁₀₎;

Пример 1.9. A1F,96₍₁₆₎ = Ах16² + 1х16¹ + Fх16⁰ + 9х16^-1 + 6х16^-2 =

= 2560 + 16 + 1 + 0,625 + 0,0234375 = 2591,6484₍₁₀₎.