Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Ю.С.Налбандян

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к практическим занятиям по курсу

«Введение в математический анализ»

(специальность «Зарубежное регионоведение»)

Часть 2.

Элементы дифференциального исчисления и методов оптимизации

Ростов-на-Дону

2012

Введение

Курс «Введение в математический анализ», который читается студентам отделения «зарубежное регионоведение», решает такие важные задачи, как ознакомление студентов с основными понятиями математического анализа и смежных дисциплин, необходимыми для решения теоретических и практических задач экономики; воспитание абстрактного мышление и умения строго излагать свои мысли . Пособие предназначено помочь в организации практических занятий и самостоятельной работы студентов и включает разделы, связанные с дифференцированием функций одного и многих переменных, а также с приложением методов дифференциального исчисления, линейной алгебры и аналитической геометрии к решению оптимизационных задач. Каждый из параграфов содержит необходимые теоретические положения, разобранные «типовые» задачи и упражнения для самостоятельного решения, позволяющие закрепить полученные навыки. Дополнительно рекомендуется литература:

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – СПб.: Лань, 2010

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: ACT: Астрель, 2006.

3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: АСТ: Астрель 2007.

4. Справочник по математике для экономистов /Под ред. В.И.Ермакова. – М.: Инфра-М, 2009.

5. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. Ч.1. – М.: Финансы и статистика. 2001.

6. Налбандян Ю.С. «Методические указания к практическим занятиям по курсу «Введение в математический анализ». Часть 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии». – Ростов-на-Дону: УПЛ ЮФУ, 2012.

§ 1. Свойства элементарных функций

1.1. Область определения, основные свойства. При решении ряда прикладных задач необходимо учитывать известные из школьного курса свойства элементарных функций: показательной (и ее частного случая, экспоненты , логарифмической (и ее частных случаев, десятичного и натурального логарифмов), тригонометрических , , , , степенной (как для любого вещественного показателя степени, так и наиболее важные частные случаи , , ). В этом параграфе рассматриваются наиболее важные примеры, более подробную информацию можно найти, например, в [1].

Пример 1.1. Найти область определения функции .

Решение. Известно, что корень четной степени определен только при неотрицательном подкоренном выражении. Таким образом, решая неравенство , получаем, что или . Поэтому (использовано стандартное обозначение для области определения функции f).

Одним из наиболее важных, часто учитывающихся в практических задачах, свойств функции является ее четность или нечетность. Как известно, функция называется четной (нечетной), если выполняются два условия: область определения функции симметрична относительно начала координат и при любом x из области определения справедливо равенство (соответственно, ).

Пример 1.2. Проверить, обладают ли свойством четности (нечетности) предложенные функции:

на естественной области определения;

на естественной области определения;

при ;

на естественной области определения;

на естественной области определения.

Решение. В данном примере функция f(x) определена для всех вещественных аргументов, т.е. симметрична относительно начала координат. Так как , то очевидно, что и , т.е. ни одним из интересующих свойств функция не обладает (такие функции называются функциями общего вида).

Функция g(x), область определения которой также все множество вещественных чисел, является четной в силу равенства .

У функции p(x) область определения – отрезок [-1;2], а у r(x) – интервал . Эти множества не симметричны относительно начала координат, поэтому функции p(x), r(x) свойством четности и нечетности не обладают.

Наконец, определена на всей вещественной оси и , поэтому нечетная функция.

Замечание. График четной функции симметричен относительно оси OY, график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Примером могут послужить графики функций , .

1.2. Графики функций, их преобразование. В таблице 1.1 приведены правила, с помощью которых, зная графики элементарных функций, можно получать эскизы графиков более широкого класса функций. Следует обратить внимание на то, что некоторые преобразования проводятся либо с самим графиком, либо с осями координат.

Таблица 1.1