1билет

1. ЭЛЛИПСОИД НАПРЯЖЕНИЯ —теоретическое понятие. Подразумевается эллипсоид, описанный вокруг 3 главных направлений или осей напряжений, параллельно которым тело (г. п.) изменяет свою форму. При этом параллельно длинной оси напряжений происходит наименьшая деформация, в то время как параллельно короткой — наибольшая деформация.

Пусть координатные оси в данной точке А тела совпадают с главными осями : Тогда на основании формул Коши получаем: где направляющие косинусы  ,  ,   удовлетворяют соотношению: подставляя в это соотношение  , получим уравнение эллипсоида:

                                             называемого эллипсоидом апряжений Ламе.

Так как  ,  ,  - координаты конца вектора напряжений, то конец этого вектора всегда находится на поверхности эллипсоида с полуосями 

Эллипсоид Ламе представляет собой геометрический образ напряжённого состояния частицы тела, т.е. тензора напряжений.

Так как одна из полуосей эллипсоида представляет наибольший радиус-вектор, а другая — наименьший, то, следовательно, одно из главных напряжений представляет наибольшее напряжение в данной точке, а другое — наименьшее. Если два главных напряжения равны между собой, то эллипсоид напряжений делается эллипсоидом вращения. Если равные по величине главные напряжения одинакового знака, то напряжения по всем элементарным площадкам, проходящим через ось вращения, будут одинаковы и нормальны к этим площадкам. Если все три главных напряжения равны между собой, то эллипсоид напряжений превращается в шар, и всякие три взаимно перпендикулярных направления могут быть приняты за главные. Если одно из главных напряжений обращается в нуль, то одна из осей эллипсоида обращается в нуль, вследствие чего поверхность эллипсоида превращается в площадь эллипса. В этом случае напряжения на всех элементарных площадках, проведённых через рассматриваемую точку, будут лежать в одной плоскости. Такое напряжённое состояние называют плоским напряжённым состоянием. Если два главных напряжения обращаются в нуль, то эллипсоид превращается в отрезок прямой, и мы будем иметь линейное напряжённое состояние. 

2билет

1.Дайте понятие нулевого тензора, первого и второго ряда.Те́нзор (от лат. tensus, «напряженный») — объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т. п. Часто тензор представляют как многомерную таблицу  , заполненную числами — компонентами тензора(где   — размерность векторного пространства, над которым задан тензор, а число сомножителей совпадает с т. н. валентностью или рангом тензора). Важно, что такое представление (кроме тензоров валентности ноль — скаляров) возможно только после выбора базиса (или системы координат): при смене базиса компоненты тензора меняются определённым образом.Сам тензор как «геометрическая сущность» от выбора базиса не зависит, что можно наглядно видеть на примере вектора, являющегося частным видом тензора: компоненты вектора меняются при смене координатных осей, но сам вектор — образом которого может быть просто нарисованная стрелка — от этого не изменяется.Т ензор механического напряжения второго ранга. Компоненты тензора в трёхмерной декартовой системе координат образуют матрицу  столбцами которой являются силы, действующие на  ,  , и   грани куба.

Примеры: -Тензор ранга   — это скаляр; -Один раз контравариантный тензор (ранга  ) — это просто элемент пространства  , то есть вектор; -Тензор ранга   есть ковектор (ковариантный вектор), то есть элемент пространства  ;

-Тензор ранга   есть билинейная форма, например метрический тензор   на касательном пространстве.

-Тензор ранга   есть линейный оператор   или 

-В частности, единичный оператор, который может быть представлен единичной матрицей   — тензор ранга  .

-Форма объёма на  -мерном линейном пространстве есть пример антисимметрического тензора ранга   (или   раз ковариантного)

-Риманова кривизна в естественном виде   — пример тензора ранга  , её свёртки — тензор Риччи   искалярная кривизна   — примеры тензоров соответственно ранга   и   — то есть последний — скаляр.

2 Билет

2. Метод Андерсона-Гзовского, его использование на примере Никитовского рудного поля

Совокупность методов структурного анализавосходит к работам [Becker, 1893; Anderson,1951; Гзовский, 1959], в которых предлагалосьсвязывать ориентацию сколового разрыва с ори-ентацией главных осей тензора напряжения наоснове представлений механики разрушений[Надаи, 1936] и экспериментальных данных, по-лученных при деформировании вплоть до раз-рушения образцов горных пород [Бриджмен,1955]. В частности, М.В.Гзовский [1954; 1975]при разработке теоретических основ метода ре-конструкции напряжений по сколовым разрывами трещинам использовал факт образования тре

щин скола под углами близкими к углу скалыва-ния горных пород, который отвечал представле-ниям теории прочности Кулона-Мора. Согласно предложенно методике, при реконструкцииориентации главных осей тензора напряженийследует выделить сопряженные пары сколовыхтрещин ( одновозрастные трещины, сформиро-вавшиеся в условиях однородного поля напря-жений, при этом "... сопряженность сколовыхразрывов двух направлений определяется по их

слиянию, взаимному пересечению, противопо-ложности направлений смещений" [Гзовский,1959]. Линия пересечения этих трещин совпадает

с осью промежуточного главного напряжения, абиссектрисы смежных углов с направлениямиосей главных напряжений (рис.1). Индексация

осей осуществляется на основании данных о на-правлениях смещения вдоль берегов сопряжен-ных пар трещин.Ннкитовское ртутное рудное поле приурочено к сводовой части Горловской антиклинали. Оруденение концентрируется, главным образом, в трещинах, рассекающих сравнительно мощные (до 60м) пласты интенсивно окварцованных песчаников. Распределение оруденения неравномерное. Наиболее богатые рудные тела приурочены к зонам дробления и повышенной трещиноватости, прилегающим к продольным разрывам и сопровождающим куполообразные складки второго порядка, которые усложняют свод Горловской антиклинали. Формирование структуры рудного поля связывается с правосторонним сдвиганием вдоль Центральнодонецкого глубинного разлома, скрытого под Главной антиклиналью Всего было осуществлено около 200 локальных определений параметров тектонического поля напряжений в пределах Никитовской группы месторождений. Такие определения производились минимум но 10—15 зеркалам скольжений. Замеры осуществлялись как в пределах рудных тел, так и вне их. Полученные характеристики поля напряжений локального уровня (ориентировки осей главных напряжений, значение коэффициента Лоде— Надаи и его изменчивость) очень разнообразные. Рудные тела, как правило, приурочены к участкам горного массива, в пределах которых наблюдается высокая изменчивость ориентировок осей, а также устанавливается максимальная изменчивость значений коэффициента Лоде—Надаи. В пределах рудных тел обычно наблюдается высокая степень пустотности, что свидетельствует об условиях растяжения. Однако высокая пустотность отмечается и в безрудных участках. Создаются впечатление, что благоприятные условия для образования промышленного оруденения связаны не столько с общим видом напряженного состояния или со средними значениями , сколько с динамикой процесса деформирования. Видимо такая высокодинамичная обстановка деформирования с пульсирующим многократным изменением условий от одноосного сжатия до одноосного растяжения обусловливает высокую степень циркуляции рудоносных растворов и. в конечном счете, способствует накоплению промышленных руд. Высокая изменчивость не может использоваться при прогнозе рудных полей.