2.2.4. Методические указания к заданию № 4

На поле работает три комбайна, каждый из которых загружает одну машину в среднем 12 минут. На поле приезжают машины для загрузки в среднем 4 машины в час. Согласно размерам поля, на поле могут ожидать загрузку не более 4 машин. Предполагается, что прибывающие и загруженные машины образуют простейшие потоки. Прибывшая для загрузки машина или одна из машин, ожидающих загрузку, сразу же становится под загрузку, если есть свободный комбайн, в порядке живой очереди. Прибывшей машине отказывается в загрузке, если нет свободных комбайнов, и на поле 4 машины ожидают загрузку. Определить состояния машин на поле и в процентном отношении время их пребывания в каждом из состояний.

Решение. Система комбайнов и машин, находящихся на поле, может рассматриваться как система массового обслуживания с ограниченным объёмом накопителя.

Определим состояния этой системы. Пусть – состояние поля, когда на поле машин, = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Для каждого состояния определим вероятность того, что система находится в состоянии ( = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Приведём интенсивность потока машин, прибывающих на поле, и время разгрузки к одной размерности. Время загрузки машины комбайном равняется: = 12 мин = 0,2 ч.

Вычислим коэффициент загрузки системы = 4∙0,2 = 0,8.

Определим коэффициенты для расчёта вероятностей: , , i = 1, 2, … , n;

а также коэффициенты, определяющие вероятность пребывания системы без очереди и с очередью : , .

Коэффициенты , , вычислим с помощью таблицы (табл. 27), используя соотношения , , .

Расчёт коэффициентов , и Таблица 27

Число каналов
0	–	1	1
1	0,8	0,8∙1=0,8	1+0,8=1,8
2	0,8/2=0,4	0,4∙0,8=0,32	1,8+0,32=2,12
3	0,8/3=0,2667	0,2667∙0,32=0,0853	2,12+0,0853=2,2053

= =0,0309.

Если объём накопителя равен 0, то есть рассматривается система без накопителя, то =0.

Вычислим вероятность состояния : = = = =0 ,4472.

Определим вероятности состояний по формулам

.

Вероятности равны: = =0,8∙0,4472 = 0,3577; = =0,4∙0,4472 = 0,1431;

= =0,2667∙0,4472 = 0,0381; = = 0,2667∙0,0381 = 0,0102;

= =0,2667²∙0,0381 = 0,0027; = =0,2667³∙0,0381 = 0,0007;

= =0,2667⁴∙0,0381 = 0,0002.

Вычислим в процентном соотношении время пребывания системы в каждом состоянии, умножив вероятности этих состояний на 100 %.

В – 0,4472∙100 % = 44,72 %, в – 0,3577∙100 % = 35,77 %, в –0,1431∙100 % = 14,31%,

в – 0,0381∙100 % = 3,81 %, в – 0,0102∙100 % = 1,02 %, в – 0,0027∙100 % = 0,27 %,

в – 0,0007∙100 % = 0,07 %, в – 0,0002∙100 % = 0,02 %.

Определим характеристики обслуживания системы комбайнов и машин на поле:

– долю незагруженных машин; – среднее число незагруженных машин; – среднее число занятых комбайнов; – среднее число машин, ожидающих загрузку;

– среднее время машин в ожидании загрузки.

Доля незагруженных машин равняется вероятности отказа машине в загрузке, которая совпадает с вероятностью состояния : = = 0,0002.

Среднее число незагруженных машин в час равно произведению доли незагруженных машин и интенсивности потока, приезжающих на поле, машин:

= = 0,0002∙4 = 0,0008.

Среднее число занятых комбайнов равно математическому ожиданию числа занятых комбайнов: = = ∙0 + ∙1 + … + ∙ + ∙ + ∙ + … + ∙ = ∙0+ + ∙1 + ∙3+ ∙3+ ∙3+ ∙3+ ∙3 = 0,3577∙1 + 0,1431∙2 + 0,0381∙3 + 0,0102∙3 + 0,0027∙3+ +0,0007∙3 + 0,0002∙3 = 0,7998.

Среднее число машин, ожидающих загрузку на поле, равно математическому ожиданию числа машин, ожидающих загрузку на поле: = = ∙1+ ∙2+ … + + ∙ = ∙1+ ∙2+ ∙3 + ∙4 = 0,0102∙1 + 0,0027∙2 + 0,0007∙3 + 0,0002∙4 = 0,0178.

Определим интенсивность загрузки комбайном одной машины: = = = 5.

Среднее время ожидание машин в очереди по формуле вычислим по формуле = = = 0,0012 ч = 0,072 мин.