- •Экономико-математические методы и модели
- •1. Общие методические рекомендации по изучению дисциплины
- •Библиографический список
- •2. Контрольные задания и методические указания по их выполнению
- •2.1. Контрольные задания
- •Количество зелёной массы, перевозимой с полей, т
- •Уровень выпуска продукции, стоимость сырья, средняя зарплата
- •Использование продукции сельского хозяйства в отраслях региона, тыс. Т
- •Использование продукции лёгкой промышленности в отраслях региона, тыс. Шт.
- •2.2. Методические указания по выполнению контрольной работы №1
- •2.2.1. Методические указания к заданию №1
- •2.2.2. Методические указания к заданию №2
- •2.2.3. Методические указания к заданию №3
- •2.2.4. Методические указания к заданию № 4
- •2.3. Методические указания по выполнению контрольной работы № 2
- •2.3.1. Методические указания к заданию №1
- •2.3.2. Методические указания к заданию № 2
- •2.3.3. Методические указания к заданию № 3
- •2.3.4. Методические указания к заданию № 4
- •Содержание
- •Раздел 1. Общие методические рекомендации по изучению дисциплины …………………3
- •Раздел 2. Контрольные задания и методические указания по их выполнению …………….4
2.3.2. Методические указания к заданию № 2
В регионе уровень дохода среднестатистической семьи равен 21 тыс. руб.. Минимальные затраты на товары первой необходимости равны 6 тыс. руб., а на товары второй необходимости – 9 тыс. руб.. Целевая функция потребления товаров первой, второй необходимости и предметов роскоши определяется функцией , где – затраты на товары первой необходимости, – затраты на товары второй необходимости, – затраты на предметы роскоши. Затраты определяются в тысячах рублей.
Определить оптимальные затраты на потребления товаров, при которых суммарная полезность потребляемых товаров будет максимальной, а также максимальную оценку полезности. Предполагается, что доход не используется на накопление.
Решение. Обозначим дополнительные затраты на товары каждого вида , = 1, 2, 3. Они равны разности общих и минимальных затрат на данный вид товара: . Обозначим общие затраты на дополнительное потребление . Они равны: . Вычислим их. = 21 – 6 – 9 = 6 тыс. руб. Дополнительные затраты по видам продуктов распределяются пропорционально степеням , , : , , . По условию =1/4, =1/2, =9/8. Показатель равен: = + + =1/4+1/2+9/8 =15/8.
Вычислим дополнительные затраты для каждого вида товаров: = = =0,8 тыс. руб.; = = =1,6 тыс. руб.; = = =3,6 тыс. руб..
Тогда суммарная максимальная полезность набора товаров равна: .= =10,11.
Вычислим полные затраты по каждому виду продуктов: = 6+0,8 = 6,8;
= 9+1,6= 10,6; = 3,6.
Ответ: = 6,8 тыс. руб.; = 10,6 тыс. руб.; = 3,6 тыс. руб.; = 10,11.
2.3.3. Методические указания к заданию № 3
Выпуск продукции на предприятиях отрасли определяется производственной функцией т, где – количество сырья, потребляемое ежемесячно на предприятии отрасли, – количество трудовых ресурсов, задействованных в производстве на предприятии отрасли. Стоимость сырья 16 тыс. руб. за т, средняя зарплата за месяц равна 20 тыс. руб.. Найти минимальные производственные затраты и количества используемых ресурсов, если объём выпуска продукции равен 46,129 т.
Решение. Используем решение задачи о минимальных затратах.
Сначала найдём степень однородности производственной функции, коэффициент : = 1/8+1/2=5/8, где = 1/8, а = 1/2, степени в которых входят количества ресурсов в производственную функцию.
После этого вычислим минимальные затраты для заданного уровня производства по формуле: . Получаем, что = =5/8∙ = 2499,968 тыс. руб..
Используя необходимое условие оптимального выпуска продукции, определим затраты по каждому ресурсу в отдельности и по формулам , .
Тогда = = 499,994 тыс. руб., = = 1999,974 тыс. руб.
В миллионах затраты выражаются: ≈ 0,5 млн руб., ≈ 2 млн руб., ≈ 2,5 млн руб..
Вычислим оптимальные объёмы ресурсов, используемые в производстве:
= = ≈ 31,25 т, = = ≈ 100 чел..
Ответ: ≈ 31,25 т; = = ≈ 100 чел.; ≈ 2,5 млн руб..
2.3.4. Методические указания к заданию № 4
Экономика данного региона является закрытой и имеет четыре отрасли: сельское хозяйство, лёгкая промышленность, среднее машиностроение, тяжёлое машиностроение. Межотраслевые поставки из каждой отрасли в другие определены таблицей 30. Для каждой отрасли определён конечный продукт и цена выпускаемой продукции (табл. 30),
= 1,2,3,4. По каждой отрасли определить: 1) валовой выпуск отрасли, коэффициенты прямых затрат в материальном виде; 2) валовой выпуск, конечный продукт и коэффи-циенты прямых затрат отрасли в стоимостном виде; 3) используя разложение матрицы полных потребностей в ряд, вычислить её до косвенных издержек второго уровня, заданных в стоимостном виде.
Межотраслевые поставки продукции, конечный продукт и цена продукции отраслей Таблица 30
Номер отрасли |
Отрасль |
Межотраслевые поставки, |
Конечн. продукт |
Цена прод. |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
||||
1 |
Сельское хозяйство |
6000 |
6000 |
10000 |
8000 |
10000 |
15 |
2 |
Лёгкая промышленность |
5600 |
2400 |
3200 |
4000 |
800 |
40 |
3 |
Среднее машиностроение |
1600 |
2000 |
1200 |
1600 |
1600 |
120 |
4 |
Тяжёлое машиностроение |
20 |
60 |
120 |
180 |
20 |
2200 |
Результаты решения каждого пункта представить таблицей.
Решение: 1) Определим валовые выпуски отраслей по формуле
= + + + + , = 1, 2, 3, 4.
= 6000+6000+10000+8000+10000 = 40000, = 5600+2400+3200+4000+800 =16000,
= 1600+2000+1200+1600+1600 = 8000, = 20+60+120+180+20 = 400.
Коэффициенты прямых затрат в натуральном виде вычислим по формуле
= , = 1, 2, 3, 4, = 1, 2, 3, 4.
= 6000/40000 = 0,15; = 6000/16000 = 0,375; = 10000/8000 = 1,25; = 8000/400 = 20;
= 5600/40000 = 0,14; = 2400/16000 = 0,15; = 3200/8000 = 0,4; = 4000/400 = 10;
= 1600/40000 = 0,04; = 2000/16000 = 0,125; = 1200/8000 = 0,15; = 1600/400 = 4;
= 20/40000 = 0,0005; = 60/16000 = 0,00375; = 120/8000 = 0,015; = 180/400 = 0,45.
Результаты вычислений представим табл. 31.
Межотраслевой баланс в натуральном виде Таблица 31
Номер отрасли |
Отрасль |
Коэффициенты прямых затрат в натуральном виде |
Конечн. продукт в натур. виде |
Валовой продукт в натур. виде |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
||||
1 |
Сельское хозяйство |
0,15 |
0,375 |
1,25 |
20 |
10000 |
40000 |
2 |
Лёгкая промышленность |
0,14 |
0,15 |
0,4 |
10 |
800 |
16000 |
3 |
Среднее машиностроение |
0,04 |
0,125 |
0,15 |
4 |
1600 |
8000 |
4 |
Тяжёлое машиностроение |
0,0005 |
0,0038 |
0,015 |
0,45 |
20 |
400 |
2) Определим валовые выпуски отраслей в стоимостном виде по формуле
= , = 1, 2, 3, 4.
= = 40000∙15 =600000; = = 16000∙40 = 640000;
= = 8000∙120 = 960000; = = 400∙2200 = 880000.
Определим конечные продукты отраслей в стоимостном виде по формуле
= , = 1, 2, 3, 4.
= = 10000∙15 = 150000; = = 800∙40 = 320000;
= = 300∙120 = 192000; = = 40∙2200 = 44000.
Определим коэффициенты прямых затрат в стоимостном виде по формуле
= , = 1, 2, 3, 4, = 1, 2, 3, 4.
= = 6000∙15/600000 = 0,15; = = 6000∙40/640000 = 0,1406;
= = 10000∙120/960000 = 0,1563; = = 8000∙2200/880000 = 0,1364;
= = 5600∙15/600000 = 0,3733; = = 2400∙40/640000 = 0,15;
= = 3200∙120/960000 = 0,1333; = = 4000∙2200/880000 = 0,1818;
= = 1600∙15/600000 = 0,32; = = 2000∙40/640000 = 0,375;
= = 1200∙120/960000 = 0,15; = = 1600∙2200/880000 = 0,2182;
= = 20∙15/600000 = 0,0733; = = 60∙40/640000 = 0,20625;
= = 120∙120/960000 = 0,275; = = 1800∙2200/880000 = 0,45.
Результаты представим в виде табл. (табл. 32).
Межотраслевой баланс в стоимостном виде Таблица 32
Номер отрасли |
Отрасли |
Коэффициенты прямых затрат в стоимостном виде, |
Конечн. продукт в стоим. виде, |
Валовой продукт в стоим. виде, |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
||||
1 |
Сельское хозяйство |
0,15 |
0,1406 |
0,15625 |
0,1364 |
150000 |
600000 |
2 |
Лёгкая промышленность |
0,3733 |
0,15 |
0,1333 |
0,1818 |
32000 |
640000 |
3 |
Среднее машиностроение |
0,32 |
0,375 |
0,15 |
0,2182 |
192000 |
960000 |
4 |
Тяжёлое машиностроение |
0,0733 |
0,20625 |
0,275 |
0,45 |
44000 |
880000 |
3) Вычислим приближённо матрицу полных потребностей в стоимостном виде до косвенных затрат второго уровня, используя разложение её в ряд B′ ≈ E+A′+A′2+A′3 , где матрица B′ – матрица полных потребностей в стоимостном виде, Е – единичная матрица, а матрица A′ – матрица прямых затрат в стоимостном виде.
E= ; А′= .
Вычислим матрицу коэффициентов косвенных затрат первого уровня К(1) = A′2 :
К(1)= A′∙A′= ∙ =
= .
Вычислим матрицу коэффициентов косвенных затрат второго уровня К(2) = A′3 :
К(2)=A′2∙A′= ∙ =
= .
Вычислим матрицу полных потребностей B′ Е +A′ + К(1) + К(2) :
B′ = + + + + = .
Результаты вычислений представим в табл. 33.
Полные потребности в стоимостном виде Таблица 33
Номер отрасли |
Отрасль |
Коэффициенты полных потребностей в стоимостном виде |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
||
1 |
Сельское хозяйство |
1,3968 |
0,3757 |
0,3520 |
0,4059 |
2 |
Лёгкая пром-сть |
0,6885 |
1,4551 |
0,4038 |
0,5408 |
3 |
Среднее маш-ние |
0,7616 |
0,7618 |
1,4930 |
0,6811 |
4 |
Тяж. маш-ние |
0,4902 |
0,6488 |
0,6591 |
2,0156 |
Решение задания предполагает составление табл. 30 – 33.