2.3.2. Методические указания к заданию № 2

В регионе уровень дохода среднестатистической семьи равен 21 тыс. руб.. Минимальные затраты на товары первой необходимости равны 6 тыс. руб., а на товары второй необходимости – 9 тыс. руб.. Целевая функция потребления товаров первой, второй необходимости и предметов роскоши определяется функцией , где – затраты на товары первой необходимости, – затраты на товары второй необходимости, – затраты на предметы роскоши. Затраты определяются в тысячах рублей.

Определить оптимальные затраты на потребления товаров, при которых суммарная полезность потребляемых товаров будет максимальной, а также максимальную оценку полезности. Предполагается, что доход не используется на накопление.

Решение. Обозначим дополнительные затраты на товары каждого вида , = 1, 2, 3. Они равны разности общих и минимальных затрат на данный вид товара: . Обозначим общие затраты на дополнительное потребление . Они равны: . Вычислим их. = 21 – 6 – 9 = 6 тыс. руб. Дополнительные затраты по видам продуктов распределяются пропорционально степеням , , : , , . По условию =1/4, =1/2, =9/8. Показатель равен: = + + =1/4+1/2+9/8 =15/8.

Вычислим дополнительные затраты для каждого вида товаров: = = =0,8 тыс. руб.; = = =1,6 тыс. руб.; = = =3,6 тыс. руб..

Тогда суммарная максимальная полезность набора товаров равна: .= =10,11.

Вычислим полные затраты по каждому виду продуктов: = 6+0,8 = 6,8;

= 9+1,6= 10,6; = 3,6.

Ответ: = 6,8 тыс. руб.; = 10,6 тыс. руб.; = 3,6 тыс. руб.; = 10,11.

2.3.3. Методические указания к заданию № 3

Выпуск продукции на предприятиях отрасли определяется производственной функцией т, где – количество сырья, потребляемое ежемесячно на предприятии отрасли, – количество трудовых ресурсов, задействованных в производстве на предприятии отрасли. Стоимость сырья 16 тыс. руб. за т, средняя зарплата за месяц равна 20 тыс. руб.. Найти минимальные производственные затраты и количества используемых ресурсов, если объём выпуска продукции равен 46,129 т.

Решение. Используем решение задачи о минимальных затратах.

Сначала найдём степень однородности производственной функции, коэффициент : = 1/8+1/2=5/8, где = 1/8, а = 1/2, степени в которых входят количества ресурсов в производственную функцию.

После этого вычислим минимальные затраты для заданного уровня производства по формуле: . Получаем, что = =5/8∙ = 2499,968 тыс. руб..

Используя необходимое условие оптимального выпуска продукции, определим затраты по каждому ресурсу в отдельности и по формулам , .

Тогда = = 499,994 тыс. руб., = = 1999,974 тыс. руб.

В миллионах затраты выражаются: ≈ 0,5 млн руб., ≈ 2 млн руб., ≈ 2,5 млн руб..

Вычислим оптимальные объёмы ресурсов, используемые в производстве:

= = ≈ 31,25 т, = = ≈ 100 чел..

Ответ: ≈ 31,25 т; = = ≈ 100 чел.; ≈ 2,5 млн руб..

2.3.4. Методические указания к заданию № 4

Экономика данного региона является закрытой и имеет четыре отрасли: сельское хозяйство, лёгкая промышленность, среднее машиностроение, тяжёлое машиностроение. Межотраслевые поставки из каждой отрасли в другие определены таблицей 30. Для каждой отрасли определён конечный продукт и цена выпускаемой продукции (табл. 30),

= 1,2,3,4. По каждой отрасли определить: 1) валовой выпуск отрасли, коэффициенты прямых затрат в материальном виде; 2) валовой выпуск, конечный продукт и коэффи-циенты прямых затрат отрасли в стоимостном виде; 3) используя разложение матрицы полных потребностей в ряд, вычислить её до косвенных издержек второго уровня, заданных в стоимостном виде.

Межотраслевые поставки продукции, конечный продукт и цена продукции отраслей Таблица 30

Номер отрасли	Отрасль	Межотраслевые поставки,				Конечн. продукт	Цена прод.
		1	2	3	4
1	Сельское хозяйство	6000	6000	10000	8000	10000	15
2	Лёгкая промышленность	5600	2400	3200	4000	800	40
3	Среднее машиностроение	1600	2000	1200	1600	1600	120
4	Тяжёлое машиностроение	20	60	120	180	20	2200

Результаты решения каждого пункта представить таблицей.

Решение: 1) Определим валовые выпуски отраслей по формуле

= + + + + , = 1, 2, 3, 4.

= 6000+6000+10000+8000+10000 = 40000, = 5600+2400+3200+4000+800 =16000,

= 1600+2000+1200+1600+1600 = 8000, = 20+60+120+180+20 = 400.

Коэффициенты прямых затрат в натуральном виде вычислим по формуле

= , = 1, 2, 3, 4, = 1, 2, 3, 4.

= 6000/40000 = 0,15; = 6000/16000 = 0,375; = 10000/8000 = 1,25; = 8000/400 = 20;

= 5600/40000 = 0,14; = 2400/16000 = 0,15; = 3200/8000 = 0,4; = 4000/400 = 10;

= 1600/40000 = 0,04; = 2000/16000 = 0,125; = 1200/8000 = 0,15; = 1600/400 = 4;

= 20/40000 = 0,0005; = 60/16000 = 0,00375; = 120/8000 = 0,015; = 180/400 = 0,45.

Результаты вычислений представим табл. 31.

Межотраслевой баланс в натуральном виде Таблица 31

Номер отрасли	Отрасль	Коэффициенты прямых затрат в натуральном виде				Конечн. продукт в натур. виде	Валовой продукт в натур. виде
		1	2	3	4
1	Сельское хозяйство	0,15	0,375	1,25	20	10000	40000
2	Лёгкая промышленность	0,14	0,15	0,4	10	800	16000
3	Среднее машиностроение	0,04	0,125	0,15	4	1600	8000
4	Тяжёлое машиностроение	0,0005	0,0038	0,015	0,45	20	400

2) Определим валовые выпуски отраслей в стоимостном виде по формуле

= , = 1, 2, 3, 4.

= = 40000∙15 =600000; = = 16000∙40 = 640000;

= = 8000∙120 = 960000; = = 400∙2200 = 880000.

Определим конечные продукты отраслей в стоимостном виде по формуле

= , = 1, 2, 3, 4.

= = 10000∙15 = 150000; = = 800∙40 = 320000;

= = 300∙120 = 192000; = = 40∙2200 = 44000.

Определим коэффициенты прямых затрат в стоимостном виде по формуле

= , = 1, 2, 3, 4, = 1, 2, 3, 4.

= = 6000∙15/600000 = 0,15; = = 6000∙40/640000 = 0,1406;

= = 10000∙120/960000 = 0,1563; = = 8000∙2200/880000 = 0,1364;

= = 5600∙15/600000 = 0,3733; = = 2400∙40/640000 = 0,15;

= = 3200∙120/960000 = 0,1333; = = 4000∙2200/880000 = 0,1818;

= = 1600∙15/600000 = 0,32; = = 2000∙40/640000 = 0,375;

= = 1200∙120/960000 = 0,15; = = 1600∙2200/880000 = 0,2182;

= = 20∙15/600000 = 0,0733; = = 60∙40/640000 = 0,20625;

= = 120∙120/960000 = 0,275; = = 1800∙2200/880000 = 0,45.

Результаты представим в виде табл. (табл. 32).

Межотраслевой баланс в стоимостном виде Таблица 32

Номер отрасли	Отрасли	Коэффициенты прямых затрат в стоимостном виде,				Конечн. продукт в стоим. виде,	Валовой продукт в стоим. виде,
		1	2	3	4
1	Сельское хозяйство	0,15	0,1406	0,15625	0,1364	150000	600000
2	Лёгкая промышленность	0,3733	0,15	0,1333	0,1818	32000	640000
3	Среднее машиностроение	0,32	0,375	0,15	0,2182	192000	960000
4	Тяжёлое машиностроение	0,0733	0,20625	0,275	0,45	44000	880000

3) Вычислим приближённо матрицу полных потребностей в стоимостном виде до косвенных затрат второго уровня, используя разложение её в ряд B′ ≈ E+A′+A′²+A′³ , где матрица B′ – матрица полных потребностей в стоимостном виде, Е – единичная матрица, а матрица A′ – матрица прямых затрат в стоимостном виде.

E= ; А′= .

Вычислим матрицу коэффициентов косвенных затрат первого уровня К⁽¹⁾ = A′² :

К⁽¹⁾= A′∙A′= ∙ =

= .

Вычислим матрицу коэффициентов косвенных затрат второго уровня К⁽²⁾ = A′³ :

К⁽²⁾=A′²∙A′= ∙ =

= .

Вычислим матрицу полных потребностей B′ Е +A′ + К⁽¹⁾ + К⁽²⁾ :

B′ = + + + + = .

Результаты вычислений представим в табл. 33.

Полные потребности в стоимостном виде Таблица 33

Номер отрасли	Отрасль	Коэффициенты полных потребностей в стоимостном виде
		1	2	3	4
1	Сельское хозяйство	1,3968	0,3757	0,3520	0,4059
2	Лёгкая пром-сть	0,6885	1,4551	0,4038	0,5408
3	Среднее маш-ние	0,7616	0,7618	1,4930	0,6811
4	Тяж. маш-ние	0,4902	0,6488	0,6591	2,0156

Решение задания предполагает составление табл. 30 – 33.