Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Пусть Х, Y  линейные нормированные пространства. Отображение А: ХY называется линейным (синоним: линейным оператором), если А(х₁+х₂) = А(х₁) + А(х₂), А(х) = А(х). Линейный оператор А называется изоморфизмом, если у него существует обратный и отображения А и А^1 непрерывные. Пространства Х, Y называются изоморфными, если существует изоморфизм А: ХY.

Очевидно, что отношение изоморфизма линейных нормированных пространств является отношением эквивалентности, т.е. обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Изоморфизм сохраняет замкнутость и открытость множеств как взаимно непрерывное отображение и компактность. В общем случае при непрерывных отображениях не сохраняется ограниченность множеств (например, функция 1/x переводит ограниченное множество (0,1] в неограниченное [1,)).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 14. Если А: ХY линейное непрерывное отображение и МХ – ограниченное множество, то множество А(М) также ограниченное.

ТЕОРЕМА 7. Любые два n – мерных линейных нормированных пространства изоморфны.

Из этой теоремы вытекают важные следствия. Поскольку пространство полное, то в силу изоморфизма (он сохраняет сходимость) этим свойством обладает и всякое конечномерное линейное нормированное пространство. А отсюда следует, что конечномерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве является замкнутым, т. е. подпространством. Для бесконечномерных многообразий это не так.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Метрические пространства Х, Y называются изометричными, если существует биективное отображение f: ХY, сохраняющее расстояния, т.е. такое, что (x,y) = (f(x), f(y)) (изометрия). Линейные нормированные пространства называются изометричными, если существует изоморфизм линейных пространств, сохраняющий нормы векторов (а тогда и расстояния). Такой изоморфизм называется изометрией.

Заключение теоремы 6 при замене изоморфизма на изометрию не выполняется. Например, пространства не изометричны при различныхр.

Компактность в линейных нормированных пространствах

Уже было показано, что в пространствах любое замкнутое ограниченное множество является компактным. Пространства, для которых это так, называютсялокально компактными.

ТЕОРЕМА 8. Для того чтобы линейное нормированное пространство являлось локально компактным, необходима и достаточна его конечномерность.

В следующих двух теоремах устанавливается, что надо добавить к замкнутости и ограниченности в некоторых бесконечномерных пространствах, чтобы обеспечить компактность множеств.

Пространство С.

Напомним известное из математического анализа определение равномерной непрерывности функции. Функция х(t), определенная на числовом множестве U, называется равномерно непрерывной, если >0 >0 t₁, t₂U t₁t₂<  x(t₁) x(t₂) < . Смысл этого условия в том, что для данного  годится одно и то же значение  для всех точек множества. В курсе математического анализа установлено, что непрерывная функция, заданная на отрезке [a,b], является равномерно непрерывной. Если для всех функций из множества М  С для заданного  > 0 годится одно и то же число  > 0, то множество М называется равностепенно равномерно непрерывным. Более формально множество функций М  С называется равностепенно равномерно непрерывным, если >0 >0 xМ t₁, t₂[0,1] t₁t₂ <   x(t₁) x(t₂)<.

ТЕОРЕМА 9 (Арцела). Для того, чтобы замкнутое ограниченное подмножество пространства С было компактным, необходимо и достаточно, чтобы подмножество было равностепенно равномерно непрерывным.

Пространства l^р.

ТЕОРЕМА 10. Для того, чтобы замкнутое ограниченное подмножество М пространства l^р было компактным, необходимо и достаточно, чтобы >0 N xМ .