2. Непрерывные отображения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Пусть Х, Y – метрическое пространство. Отображение f: ХY называется непрерывным в точке aХ, если из того, что х_na следует, что f(х_n) f(a). Отображение называется непрерывным на Х, если оно непрерывно во всех точках Х.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Для того чтобы отображение было непрерывным на Х, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого открытого подмножества Y было открытым подмножеством Х.

Аналогично, отображение является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз всякого замкнутого множества является замкнутым. При этом образ открытого множества при непрерывном отображении может не быть открытым, а образ замкнутого множества замкнутым. Например, образом открытого множества (1,1) при отображении y = x² является множество [0,1), которое открытым не является.

Из того, что образ всякого открытого множества открыт, не следует непрерывность отображения. Например, рассмотрим отображение f отрезка [1,1] в двухточечное дискретное пространство {a,b} (п. Error: Reference source not found), действующее по правилу f[1,0] = {a}, f(0,1] = {b}. Поскольку в дискретном пространстве любое множество является открытым, то образ любого открытого множества открытый. Непрерывным отображение не является, поскольку 1/n0, но неверно, что f(1/n) = bf(0) = a.

Cуперпозиция непрерывных отображений является непрерывным отображением. При этом если у непрерывного отображения существует обратное, то оно не обязано быть непрерывным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Отображение f: ХY называется топологическим или гомеоморфизмом, если оно непрерывное, биективное и обратное отображение также непрерывное.

3. Полные метрические пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Последовательность {x_n} в метрическом пространстве называется фундаментальной, если >0 N n>N p (x_n x_n+p)<. Это означает, что элементы последовательности с достаточно большими номерами сколь угодно близки.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. Если последовательность {x_n} сходится, то она фундаментальная. Обратное утверждение в общем случае неверно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Метрическое пространство Х называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нем сходится.

Пример неполного метрического пространства: Х = (0,1) с обычным расстоянием (x,y)=xy, x_n = 1/n. Поскольку эта последовательность сходится в метрическом пространстве всех вещественных чисел, она является фундаментальной. Ее предел равен 0, поскольку 0Х, то пространство Х полным не является.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7. Замкнутое подпространство Y полного метрического пространства X является полным.

Конечномерные метрические пространства являются полными. ПространствоС - полное. Дискретное метрическое пространство является полным, поскольку члены любой фундаментальной последовательности совпадают, начиная с некоторого, т.е. такая последовательность сходится.

Пространство L^p_с полным не является. Ограничимся примером, оставляя подробный анализ читателю. Рассмотрим функции

(п=3,4,…. ).

Отметим, что пространства m,c.l^p являются полными.

ТЕОРЕМА 1. Вложенная последовательность замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к 0, в полном метрическом пространстве имеет единственную общую точку. Обратно, если любая такая последовательность шаров имеет общую точку, то пространство полное.Следует отметить, что для открытых шаров теорема несправедлива (например, пересечение интервалов пустое).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Отображение A:XX метрического пространства X в себя называется сжимающим, если при некотором числе (0,1) для любых точек x,yX выполняется неравенство (Ax,Ay)  (x,y).

ТЕОРЕМА 2. (Принцип сжатых отображений). Если A – сжимающее отображение в полном метрическом пространстве X, то существует единственная неподвижная точка y отображения A, т.е. такая, что Ay=y.