Математичні програмні пакети

MathCAD xx Professional та MatLab xx

Мета: вивчення особливостей роботи з програмними пакетами для подальшого їх використання при вирішенні складних інженерних задач.

 Короткі теоретичні відомості

Основи роботи в середовищі пакету MatLab.

1. Типи та формати даних

- Matlab відрізняє великі та малі літери, окрім того, запис імені файлу та повного шляху до його розміщення повинні підкорятися формату системи MS-DOS.

- Для запису комплексних чисел використовують символи i та j.

- Тип нескінченність inf (число/0);

- Тип невизначеність nan (0/0).

- У пакеті визначені значення змінних pi та eps (2^-52).

Табл. 3. - Формати даних.

Запис	Значення
Short	5 значущих цифр числа
Long	15 значущих цифр числа
Short e	Число з плаваючою комою і п'ятьма значущими цифрами числа
Long e	Число з плаваючою комою і 15 значущими цифрами числа
Short g	5 значущих цифр як у форматі з фіксованою, так і з плаваючою комою
Long g	15 значущих цифр як у обох форматах
Hex	Шістнадцяткова система числення
Format +	+, або пробіл для додатних, від’ємних елементів і нуля. Уявна частина ігнорується

2. Елементарні функції пакету (Всі функції пакету визначені малими літерами.)

Табл. 4. - Елементарні функції пакету.

Запис	Значення
Тригонометричні
sin, cos, tan, cot	Тригонометричні функції
asin, acos, atan, atan2,acot	Обернені тригонометричні функції
sinh,cosh, tanh,coth	Гіперболічні функції
asinh, acosh, atanh, acoth	Обернені гіперболічні функції
sec, csc	Секанс і косеканс
asec, acsc	Обернені функції секанса і косеканса
sech, csch	Гіперболічний секанс і косеканс
asech, acsch	Обернені гіперболічні функції
Логарифмічні та експонента
exp	Експонента
log	Натуральний логарифм
log10	Десятковий логарифм
log2	Логарифм за основою два
Піднесення до степеня
pow2	Піднесення до квадрату
sqrt	Корінь квадратний
nextpow2	Піднесення числа до степеня n
Функції комплексного аргументу
abs	Модуль комплексного числа
angle	Фаза комплексного числа
conj	Комплексно-спряжене число
imag	Уявна чистина комплексного числа
real	Дійсна частина комплексного числа
cplxpair	Сортування на комплексно-спряжені пари
Функції закруглення та визначення остачі від ділення чисел
fix	Заокруглення  0
floor	Заокруглення  -
ceil	Заокруглення  
round	Заокруглення до найближчого цілого
mod	Остача від ділення зі знаком
rem	Остача від ділення
sign	Знак

Зауваження: довідкову інформацію отримують використовуючи наступний формат запису функції - help ___.

3. Матричні операції. Матричні функції.

У середовищі пакету всі змінні трактуються як матриці. Наприклад змінна а=1,2 записується у вигляді а=1.2 (матриця розмірністю 1*1). Елементи матриці вводяться за рядками, які відділяються один від одного символом “;” або переходом на новий рядок a = [1 2 3; 4 5 6].

Табл. 5. - Стандартні функції для генерації певних типів матриць

Назва функції	Визначення генерованої матриці
zeros	Матриця, всі елементи якої дорівнюють 0
ones	Матриця, всі елементи якої дорівнюють 1
eye	Одинична матриця
rand	Матриця випадкових чисел

Спосіб виклику подібних матриць є однаковим: А=zeros(5,8) і т.д.

Спосіб введення векторів є ідентичним введенню матриці, однак є можливість генерування вектору наступним командним рядком: Х=Х_поч: крок: Х_кін

Табл. 6. - Операції з матрицями з використанням оператору “:”

A(:,j)	Виведення j-го стовпця матриці А
A(:,j:k)	Виведення стовпців A(j), A(j+1), .. , A(k)
A(i,:)	Виведення і-го рядка матриці А
A(i:k,:)	Виведення рядків А(і), А(і+1), .. , А(k)
A(:)	Виведення всіх елементів матриці в стовпець
A(j:k)	Виведення в рядок елементів матриці А від елемента з індексом j до елемента з індексом k

Розмірність порожньої матриці – 0*0, визначається як A=[].

Табл. 7. - Перелік базових матричних операцій

Запис	Значення
A’	Транспонування матриці
AB	Додавання (віднімання) матриць
A*B	Множення матриць
A/B	Праве ділення матриць (хА=У)
A\B	Ліве ділення матриць (Ах=У)
A^p	Піднесення матриці до степеня
a^p	Піднесення скаляра до матричного степеня

У пакеті визначені операції додавання, віднімання і множення, якщо один з операндів є скаляр.

Окремим типом матричних операцій є табличні операції (скалярні операції), визначені на елементах матриці. Табличні операції мають ідентичний запис з матричними, однак перед знаком операції ставитися символ “.”.

Табл. 8. - Елементарні матричні функції та операції

Запис	Значення
expm	Матрична експонента
logm	Матричний логарифм
sqrtm	Матричний корінь квадратний
lu	Декомпозиція трикутна LU
qr	Декомпозиція ортогональна QR
norm	Норма вектора і матриці
rank	Ранг матриці
det	Детермінант матриці
trace	Сума діагональних елементів матриці
inv	Обернена матриця
size	Розмір матриці
reshape	Зміна розміру матриці
lenght	Довжина вектора
diag	Діагональні елементи матриці
triu	Верхня трикутна частина матриці
tril	Нижня трикутна частина матриці

Матрична функція poly визначає коефіцієнти характеристичного полінома, який визначається як det(sI-A). Результатом виконання функції є вектор-рядок коефіцієнтів характеристичного полінома, впорядкований у порядку спадання степенів.

4. Статистичний аналіз.

Табл. 9. - Основні функції пакету для статистичного аналізу

	Запис		Значення
		min		Найменший елемент
		max		Найбільший елемент
		mean		Середнє значення
		std		Стандартне відхилення
		cov		Коваріація
		corrcoef		Коефіцієнт кореляції
		sum		Сума елементів
		prod		Добуток елементів

5. Графічне подання інформації.

Табл. 10. - Функції для виводу двовимірного графіку

	Запис		Значення
		plot		Побудова графіка в декартовій системі координат
		loglog		Побудова графіка в логарифмічних осях
		semilogx		Побудова графіка з логарифмічною віссю абсцис
		semilogy		Побудова графіка з логарифмічною віссю ординат
		polar		Побудова графіка в полярній системі координат
		plotyy		Вивід осей як ліворуч, так і праворуч вікна графіка

Активізація описаних у табл.10 функції є подібною до виклику функції plot.

Якщо 'у' є вектором, plot(y) виконує побудову графіку залежності значення елемента вектора від його порядкового номера. Якщо визначені два вектори як аргументи функції, plot(x,y) будує графік залежності y=f(x).

У випадку декількох пар векторів х-у за допомогою команди plot можна на одному графіку вивести декілька залежностей. Структура команди при цьому – plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3).

Для виводу графіків можна завдавати колір залежності, тип лінії та маркери за допомогою наступної структури: plot(x,y,’colorstylemarker’).

Кольори: c - голубий; m – бузковий; y –жовтий; r – червоний; g- зелений; b-синій; w- білий; k-чорний.

Знаки стилів ліній: - - неперервна; -і - штрихова; : - пунктирна; -. – штрих- пунктирна; none – без лінії.

Знаки маркерів: '+', '0', '*', 'х'.

Для відкриття нового вікна для виводу графіків необхідно виконати команду figure. Команда figure(n) задає поточне вікно з номером n серед відкритих графічних вікон.

Для виводу нових залежностей у створеному вікні графіку необхідно виконати команду hold on.

Команда subplot(vha) дозволяє здійснювати поділ вікна виводу графіків на чотири, або на два. У даній команді v та h дорівнюють 1 або 2, таким чином задають відповідно поділ екрану по вертикалі та по горизонталі, а параметр “а” визначає номер активного вікна.

Використання під час побудови графіку функції axis дає змогу задавати діапазон зміни координат. Структура такої команди: axis([Xmin Xmax Ymin Ymax]). Окрім цього команда axis equal формує однаковий крок розбиття по осі абсцис і ординат, а команда axis off дозволяє не виводити мітки та розбиття координатних осей.

Використання команди grid дозволяє нанести сітку на графік.

Для опису графіків існують команди, які дають можливість задавати наступне:

• назви x-,y-осей, відповідно, - xlabel (‘Назва осі’), ylabel (‘Назва осі’);

• назва графіку – title (‘Назва графіку’);

• підпис у будь якому місті – text(x,y,’Текст підпису’).

5.2 Тривимірна графіка.

Табл. 11. - 3D функції пакету

	Запис		Значення
		plot3		Побудова 3D графіку
		mesh		Побудова сітки на поверхні графіку
		surf		Побудова поверхні графіку
		contour3		Побудова контурів поверхні графіку

6. Циклічні оператори та організація розгалужень у середовищі пакету.

Цикл for повторює виконання групи операторів фіксовану кількість разів. for змінна = вираз оператори; end	Структура циклічного оператору While While умова оператори; end Для виходу з циклу до його завершення є команда break.
Структура умовного оператора if if умова1 оператори1 elseif умова2 оператори2 else оператори end	Оператор switch виконує групу команд залежно від значення виразу або змінної. switch вираз або змінна case значення 1 оператори 1 case значення 2 оператори 2 case значення 3 оператори 3 otherwise оператори 4 end

7. Структура m-файлів.

Файли, що містять написані користувачем програми мовою MatLab, які виконують певні операції, називаються m-файлами. Розрізняють два види m-файлів:

• script – не має ні вхідних, ні вихідних аргументів. Працює з даними робочої області.

• function – має вхідні та вихідні аргументи. Внутрішні змінні є локальними змінними функції.

Запис m-файлу (function) починається наступним рядком:

Function вихідні аргументи = назва функції (вхідні аргументи).

Після описаного рядка розміщують коментар, котрий виводиться командою - help назва функції.

8. Числове інтегрування та диференціювання функцій.

Для знаходження значення означеного інтеграла в середовищі пакету передбачена функція quad, яка розраховує значення інтеграла F(x) у діапазоні від А до В з допустимою точністю 1е-3 використовуючи метод Сімпсона.

Q= quad('F', a, b)

де 'F' – текстова змінна (назва файлу, у якому зберігається підінтегральна функція).

Функція quad8 реалізує рекурсивну адаптивну восьми-точкову формулу Ньютона-Котеса.

Для визначення наближеного значення похідної, необхідно знайти різницю між сусідніми значеннями функції. Цю операцію виконує функція diff. Якщо х є вектором, то результатом виконання команди diff(x) буде вектор [x(2)-x(1) .. x(n)-x(n-1)]. Якщо вектори х та в складаються з координат точок кривої, то наближене значення похідної:

dydx=diff(y)./diff(x) .

Основи роботи в середовищі пакету MathCAD

У пакеті використовуються вбудовані функції. До основних функцій відносяться тригонометричні і зворотні, гіперболічні і зворотні, експонентні і логарифмічні, статистичні, Фур'є, Беселя, комплексних змінних. Основні функції:

1. Тригонометричні і зворотні функції: sin(z), cos(z), tan(z), asin(z), acos(z), atan(z). Де z - кут у радіанах.

2. Гіперболічні і зворотні функції: sinh(z), cosh(z), tanh(z), asinh(z), acosh(z), atanh(z) .

3. Експонентні і логарифмічні: exp(z) - e^z; ln(z) - натуральний логарифм; log(z)- десятковий логарифм.

4. Статистичні функції: mean(x)- середнє значення; var(x)- дисперсія; stdev(x) - середньоквадратичне відхилення; cnorm(x)- функція нормального розподілення; erf(x)- функція помилки; Г(x) - гамма-функція Ейлеру.

5. Функції Беселя: J0(x), J1(x), Jn(n,x) - функції Беселя першого порядку; Y0(x), Y1(x), Yn(n,x) - функції Беселя другого порядку.

6. Функції комплексних змінних: Re(z)- дійсна частина комплексного числа; Im(z)- уявна частина комплексного числа; arg(z)- аргумент комплексного числа.

7. Перетворення Фур'є: U:=fft(V)- пряме перетворення (V- дійсне) ; V:=ifft(U)- зворотне перетворення (V- дійсне); U:=cfft(V)- пряме перетворення (V- дійсне); V:=icfft(U)- зворотне перетворення (V- дійсне).

8. Кореляційна функція - дозволяє розраховувати коефіцієнт кореляції двох векторів vx і vy і визначити рівняння лінійної регресії:

corr(vx,vy)- коефіцієнт кореляції;

slope(vx,vy)- коефіцієнт нахилу лінії регресії;

intercept(vx,vy)- початкова координата лінії регресії.

9. Лінійна інтерполяція:

linterp(vx,vy,x)

vx,vy- вектори значень аргументу і функцій, де x- значення аргументу, для якого проводиться інтерполяція.

10. Функція для визначення коренів алгебраїчних і трансцендентних рівнянь: root(рівняння, змінна)

11. Датчик випадкових чисел: rnd(x) - випадкове число з рівномірним розподілом від 0 до x

12. Ціла частина змінної: floor(x)- найближче найменше ціле число; ceil(x)- найближче найбільше ціле число.

13. Виділення залишку: mod(x,y)- залишок від розподілу x на y.

14. Зупинка ітерації: until(x,y) - коли x<0

15. Функція умовного переходу: if(умова, x, y) - якщо умова виконується, то функція дорівнює x, інакше y.

16. Одинична функція (функція Хевисайда): Ф(x) - якщо x>0 то функція дорівнює 1, інакше 0.