8. Эффект комптона

Задача 8.1. Под каким углом произошло комптоновское рассеяние фотона рентгеновского излучения на свободном электроне, если в результате этого рассеяния фотон потерял 20% своей энергии? Какая часть энергии фотона перейдет в кинетическую энергию отдачи электрона?

Дано: ΔWФ = 0,2 WФ1

φ – ? – ?

Решение:

Эффект Комптона состоит в упругом соударении фотона и покоящегося электрона. При этом выполняется закон сохранения импульса:

,

где и – импульсы фотона до и после рассеяния соответственно.

Импульсы и энергии фотона до и после рассеяния соответственно равны

, , W_Ф1 = , W_Ф2 = ,

где h – постоянная Планка, с – скорость света.

По условию задачи, потери энергии фотона составляют 20%, т.е. ΔW_Ф = 0,2 W_Ф1, значит,

W _Ф2 = W_Ф1 – 0,2 W_Ф1 = 0,8 W_Ф1,

,

следовательно,

.

Из векторной диаграммы сложения импульсов (рис.8.1) найдем

cos φ = ,

значит, угол рассеяния фотона равен φ = arсcos 0,8 37°.

При упругом рассеянии выполняется также закон сохранения энергии:

W_Ф1 = W_Ф2 + W_ЭЛ,

где W_Ф1 и W_Ф2 – энергии фотона до и после рассеяния.

Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, теряемая фотоном при столкновении, переходит в кинетическую энергию электрона, т.е. W_ЭЛ = ΔW_Ф = 0,2 W_Ф1 или  = 0,2 = 20%.

Ответ: угол рассеяния фотона φ = 37°, кинетическая энергия электрона отдачи составляет 20% от первоначальной энергии фотона.

9. Гипотеза де бройля

Задача 9.1. Найти длину волны де Бройля для протона, кинетическая энергия которого равна энергии теплового движения молекулы водорода при комнатной температуре.

Дано: Wk = WТ(Н2)

λБ – ?

Решение:

Длина волны де Бройля рассчитывается по формуле:

,

(9.1)

где – постоянная Планка, – импульс частицы.

Массу протона возьмем из таблицы: .

Скорость протона найдем из условия равенства энергий. Кинетическая энергия протона равна:

.

Энергия теплового движения молекулы водорода находится по формуле:

,

где – число степеней свободы молекулы, – постоянная Больцмана, – абсолютная температура.

Молекула водорода – двухатомная, поэтому для нее . Комнатную температуру примем 20°С или 293 К.

Приравняем энергии протона и водорода:

,

отсюда выразим скорость протона:

,

и подставим ее в выражение для длины волны де Бройля (9.1):

или

.

Наименование:

Вычисление:

Ответ: длина волны де Бройля для протона равна .

Задача 9.2. Показать, что стационарным орбитам Бора соответствует целое число волн де Бройля. Сколько длин волн укладывается на каждой орбите? Как зависит длина волны от номера орбиты и универсальных постоянных?

Решение:

Согласно теории водородоподобных атомов Бора, в одноэлектронном ионе электрон может двигаться по круговым орбитам (рис. 4.1), разрешенные радиусы которых r_n связаны с линейными скоростями υ_n электрона на этих орбитах правилом квантования (4.1). Длина n-ой орбиты равна , разделим ее на длину волны де Бройля (9.1):

,

т.е. на n-ой боровской орбите укладывается n длин волн де Бройля.

Правило квантования (4.1) и второй закон Ньютона для электрона на n-ой орбите (4.5) дают систему уравнений с двумя неизвестными (4.9). Выразим υ_n из первого уравнения системы (4.9):

,

и подставим во второе уравнение системы:

.

Теперь упростим и выразим r_n:

Отсюда радиус n-ой орбиты электрона равен

.

Тогда длина волны де Бройля будет равна:

.

Последнее выражение дает зависимость длины волны де Бройля от фундаментальных постоянных.