- •1. Интерференция света
- •2. Дифракция света
- •3. Тепловое излучение
- •4. Модель атома Бора
- •5. Моменты атома
- •6. Рентгеновское излучение
- •7. Фотоэффект
- •8. Эффект комптона
- •9. Гипотеза де бройля
- •10. Волновая функция
- •11. Соотношение неопределенностей
- •12. Физика ядра
- •Библиографический список
- •Приложения
- •Фундаментальные физические константы (с точностью, требуемой для решения задач)
- •Оглавление
- •1. Интерференция света 3
8. Эффект комптона
Задача 8.1. Под каким углом произошло комптоновское рассеяние фотона рентгеновского излучения на свободном электроне, если в результате этого рассеяния фотон потерял 20% своей энергии? Какая часть энергии фотона перейдет в кинетическую энергию отдачи электрона?
Дано: ΔWФ = 0,2 WФ1 |
φ – ? – ? |
Эффект Комптона состоит в упругом соударении фотона и покоящегося электрона. При этом выполняется закон сохранения импульса:
,
где и – импульсы фотона до и после рассеяния соответственно.
Импульсы и энергии фотона до и после рассеяния соответственно равны
, , WФ1 = , WФ2 = ,
где h – постоянная Планка, с – скорость света.
По условию задачи, потери энергии фотона составляют 20%, т.е. ΔWФ = 0,2 WФ1, значит,
W Ф2 = WФ1 – 0,2 WФ1 = 0,8 WФ1,
,
следовательно,
.
Из векторной диаграммы сложения импульсов (рис.8.1) найдем
cos φ = ,
значит, угол рассеяния фотона равен φ = arсcos 0,8 37°.
При упругом рассеянии выполняется также закон сохранения энергии:
WФ1 = WФ2 + WЭЛ,
где WФ1 и WФ2 – энергии фотона до и после рассеяния.
Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, теряемая фотоном при столкновении, переходит в кинетическую энергию электрона, т.е. WЭЛ = ΔWФ = 0,2 WФ1 или = 0,2 = 20%.
Ответ: угол рассеяния фотона φ = 37°, кинетическая энергия электрона отдачи составляет 20% от первоначальной энергии фотона.
9. Гипотеза де бройля
Задача 9.1. Найти длину волны де Бройля для протона, кинетическая энергия которого равна энергии теплового движения молекулы водорода при комнатной температуре.
Дано: Wk = WТ(Н2)
|
λБ – ?
|
Длина волны де Бройля рассчитывается по формуле:
, |
(9.1) |
где – постоянная Планка, – импульс частицы.
Массу протона возьмем из таблицы: .
Скорость протона найдем из условия равенства энергий. Кинетическая энергия протона равна:
.
Энергия теплового движения молекулы водорода находится по формуле:
,
где – число степеней свободы молекулы, – постоянная Больцмана, – абсолютная температура.
Молекула водорода – двухатомная, поэтому для нее . Комнатную температуру примем 20°С или 293 К.
Приравняем энергии протона и водорода:
,
отсюда выразим скорость протона:
,
и подставим ее в выражение для длины волны де Бройля (9.1):
или
.
Наименование:
Вычисление:
Ответ: длина волны де Бройля для протона равна .
Задача 9.2. Показать, что стационарным орбитам Бора соответствует целое число волн де Бройля. Сколько длин волн укладывается на каждой орбите? Как зависит длина волны от номера орбиты и универсальных постоянных?
Решение:
Согласно теории водородоподобных атомов Бора, в одноэлектронном ионе электрон может двигаться по круговым орбитам (рис. 4.1), разрешенные радиусы которых rn связаны с линейными скоростями υn электрона на этих орбитах правилом квантования (4.1). Длина n-ой орбиты равна , разделим ее на длину волны де Бройля (9.1):
,
т.е. на n-ой боровской орбите укладывается n длин волн де Бройля.
Правило квантования (4.1) и второй закон Ньютона для электрона на n-ой орбите (4.5) дают систему уравнений с двумя неизвестными (4.9). Выразим υn из первого уравнения системы (4.9):
,
и подставим во второе уравнение системы:
.
Теперь упростим и выразим rn:
Отсюда радиус n-ой орбиты электрона равен
.
Тогда длина волны де Бройля будет равна:
.
Последнее выражение дает зависимость длины волны де Бройля от фундаментальных постоянных.