10. Соотношение между прямой и двойственными задачами.

Изменение коэффициентов целевой функции и ограничений задачи ЛП влияет

на оптимальность и допустимость текущего оптимального решения. Поэтому необходимо выяснить, как вычисления в симплекс-методе зависят от изменений

коэффициентов исходной задачи. В частности, следует выяснить, как от этих изменений зависят оптимальность и допустимость решения, представленного в ви-

де симплекс-таблицы.

Наиболее компактный способ записи вычислений, производимых при симплекс-

методе, заключается в использовании матриц. Для этого в начале данного раздела

приведем краткий обзор действий над матрицами, а затем рассмотрим соотношение

между оптимальными решениями прямой и двойственной задач.

11. Экономическая интерпретация двойственности.

12. Анализ чувствительности оптимального решения.

13. Алгоритм решения транспортной задачи.

Последовательность этапов алгоритма решения транспортной задачи в точности

повторяет аналогичную последовательность этапов симплексного алгоритма.

Шаг 1. Определяем начальное базисное допустимое решение, затем пере-

ходим к выполнению второго этапа.

Шаг 2. На основании условия оптимальности симплекс-метода среди

всех небазисных переменных определяем вводимую в базис. Если

все небазисные переменные удовлетворяют условию оптимальности, вычисления заканчиваются; в противном случае переходим к третьему этапу.

Шаг 3. С помощью условия допустимости симплекс-метода среди текущих базисных переменных определяем исключаемую. Затем находим новое базисное решение. Возвращаемся ко второму этапу.

Рассмотрим каждый описанный этап в отдельности.

Определение начального решения

Общая транспортная модель с т пунктами отправления и п пунктами назначения имеет т + п ограничений в виде равенств, по одному на каждый пункт отправления и назначения. Поскольку транспортная модель всегда сбалансирована

(сумма предложений равна сумме спроса), одно из этих равенств должно быть избыточным. Таким образом, транспортная модель имеет т + п - 1 независимых ограничений, отсюда следует, что начальное базисное решение состоит из т + п - 1

базисных переменных. Например, начальное решение в примере 5.3.1 содержит

3 + 4-1=6 базисных переменных.

Специальная структура транспортной модели для построения начального решения позволяет применить следующие методы (вместо использования искусственных переменных, как это делается в симплекс-методе).

1. Метод северо-западного угла.

2. Метод наименьшей стоимости.

3. Метод Фогеля.

Различие этих методов заключается в "качестве" начального решения, т.е.

"удаленности" начального решения от оптимального. В общем случае метод Фогеля дает наилучшее решение, а метод северо-западного угла — наихудшее. Однако

метод северо-западного угла требует меньшего объема вычислений.

Метод северо-западного угла. Выполнение начинается с верхней левой ячейки

(северо-западного угла) транспортной таблицы, т.е. с переменной хп.

Шаг 1. Переменной хп присваивается максимальное значение, допускаемое ограничениями на спрос и предложение.

Шаг 2. Вычеркивается строка (или столбец) с полностью реализованным

предложением (с удовлетворенным спросом). Это означает, что

в вычеркнутой строке (столбце) мы не будем присваивать значения

остальным неременным (кроме переменной, определенной на первом этапе). Если одновременно удовлетворяются спрос и предложение, вычеркивается только строка или только столбец.

Шаг 3. Если не вычеркнута только одна строка или только один столбец,

процесс останавливается. В противном случае переходим к ячейке

справа, если вычеркнут столбец, или к нижележащей ячейке,

14. Интерпретация метода потенциалов как симплекс-метода.

Связь метода потенциалов с симплекс-методом основывается на соотношениях

двойственности задач ЛП (раздел 4.2). Исходя из специальной структуры транс-

портной задачи (обратитесь к примеру 5.5.1, где показано, как транспортную

задачу представить в виде стандартной задачи ЛП), двойственная ей задача будет

записана в следующем виде.

Максимизировать z = 2]а,и( + У^б.у,

i=i ;=1

при ограничениях

и. + и. < сц для всех I и у,

ulnvj — свободные переменные,

где

~а1 — предложение (объем грузов) пункта отправления i,

bt — спрос (заявка на грузы) пункта назначения/,

ctj — стоимость перевозки единицы груза из пункта отправления i в пункт

назначения/,

ц, — двойственная переменная, соответствующая ограничению на предложение пункта отправления i,

iv — двойственная переменная, соответствующая ограничению на спрос

пункта назначения/.

Из формулы 2 раздела 4.2.4 следует, что коэффициент при переменной хц

в выражении целевой функции должен быть равен разности между левой

и правой частями соответствующего ограничения двойственной задачи, т.е. ве-

личине u( + v/ - сц. Но как мы уже знаем, эта величина должна быть равной нулю

для каждой базисной переменной. Другими словами, для этих переменных

должно выполняться равенство ut + v} = сц. Имея т + п - 1 таких равенств и ре шая их как систему линейных уравнений (после присвоения какой-либо переменной

произвольного значения, например и, = 0), находим значения потенциалов их и иу.

Вычислив значения потенциалов, далее определяем вводимую в базис переменную среди всех небазисных как переменную, имеющую наибольшее положительное значение величины u, + v: - сц.

Присвоение одной из двойственных переменных произвольного значения

(например, и1 = 0) противоречит представлениям раздела 4.2.3, поскольку это

присвоение показывает, что, возможно, решение двойственной задачи (определяется

вычисленными значениями двойственных переменных (потенциалов)) не единственное. В действительности противоречия здесь нет, и решение упражнения 5.3.3.2 объясняет, — почему.

15. Сетевые модели. Основные понятия.

В рамках теории исследования операций рассматривается большое количество

практических задач, которые можно сформулировать и решить как сетевые моде-

ли. Недавние исследования показывают, что не менее 70% реальных задач математического программирования можно представить в виде сетевых моделей. Приведем несколько конкретных примеров.

1. Проектирование газопровода, соединяющего буровые скважины морского

базирования с находящейся на берегу приемной станцией. Целевая функция

соответствующей модели должна минимизировать стоимость строительства

газопровода.

2. Поиск кратчайшего маршрута между двумя городами по существующей

сети дорог.

3. Определение максимальной пропускной способности трубопровода для

транспортировки угольной пульпы от угольных шахт к электростанциям.

Сеть состоит из множества узлов, связанных дугами (или ребрами).1 Таким

образом, сеть описывается парой множеств (N, А), где N— множество узлов,

а А— множество ребер. Например, сеть, показанная на рис. 6.1, описывается

следующим образом.

N={1,2,3,4,5},

А = {A, 2), A, 3), B, 3), B, 5), C, 4), C, 5), D, 2), D, 5)}.

С каждым типом сети связан определенный тип потоков (например, транспортный поток нефти в нефтепроводах или автомобильные потоки в сети городских до-

рог). В общем случае потоки в сети ограничены пропускной способностью ее ребер,

которая может быть как конечной, так и бесконечной.

Ребро называется направленным, или ориентированным (и в этом случае ребро

будем называть дугой), если в одном направлении возможен только положительный поток, а в противоположном — только нулевой. В ориентированной сети все

ребра ориентированы.

Путем называется последовательность различных ребер, соединяющих два уз-

ла, независимо от направления потока в каждом ребре. Путь формирует цикл, если

начальный и конечный узлы совпадают. Например, на рис. 6.1 дуги B, 3), C, 4)

и D, 2) составляют цикл. Ориентированный цикл — это цикл, в котором все дуги

ориентированы в определенном направлении.

Связная сеть — такая сеть, у которой любые два узла связаны по крайней мере

одним путем. На рис. 6.1 показан именно такой тип сети. Деревом называется

связная сеть, содержащая подмножество узлов исходной сети и не имеющая циклов. Остовное дерево'— это дерево, содержащее все узлы сети.