Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
вопросы Мат Модели(шпоры) 1.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
23.11.2019
Размер:
220.67 Кб
Скачать

Неограниченные решения

В некоторых задачах ЛП значения переменных могут неограниченно возрастать

без нарушения ограничений. Это говорит о том, что пространство допустимых решений не ограничено по крайней мере по одному направлению. В результате этого

целевая функция может возрастать (задача максимизации) или убывать (задача

минимизации) неограниченно.

Неограниченность решения задачи свидетельствует только об одном: модель разработана не достаточно корректно. Типичные ошибки, приводящие к построению та-

ких моделей, заключаются в том, что не учитываются ограничения, не являющиеся

избыточными, и не точно оцениваются параметры (коэффициенты) ограничений.

В следующем примере показано, как на основе данных, приведенных в симплекс-таблице, можно определить, когда не ограничено пространство решений

и значения целевой функции.

Отсутствие допустимых решений

Если ограничения задачи ЛП несовместны (т.е. они не могут выполняться одно-

временно), то задача не имеет допустимых решений. Такая ситуация не может воз-

никнуть, если все неравенства, составляющие систему ограничений, имеют тип "<"

с неотрицательными правыми частями, так как в этом случае дополнительные переменные могут составить допустимое решение. Для других типов ограничений используются искусственные переменные. И хотя в оптимальном решении все искусственные переменные в силу штрафов равны нулю, такой исход возможен только

тогда, когда задача имеет непустое пространство допустимых решений. В против-

ном случае в оптимальном решении будет присутствовать хотя бы одна положи-

тельная искусственная переменная.

С практической точки зрения отсутствие допустимых решений свидетельствует

о том, что задача плохо сформулирована.

  1. Двойственная задача. Определение.

    При изложении теории двойственности часто рассматривают формулировки двойственной задачи в зависимости от различных видов прямой задачи, которые определяются типами ограничений, знаками переменных (неотрицательные или свободные, т.е. без ограничения в знаке) и типом оптимизации (максимизация или минимизация целевой функции). Приведем единую формулировку двойственной задачи, применимую ко всем видам прямой задачи. В основу такой формулировки положена стандартная форма прямой задачи. Напомним, что задача ЛП в стандартной форме записывается следующим образом. Максимизировать или минимизировать целевую функцию

при ограничениях

    В состав n переменных хj входят также дополнительные переменные. Стандартная форма задачи линейного программирования предполагает выполнение следующих условий.

Все ограничения записаны в виде равенств (с неотрицательной правой частью).

Все переменные неотрицательны.

Оптимизация определяется как максимизация или минимизация целевой функции.

    Стандартная форма задачи линейного программирования порождает стандартную таблицу симплекс-метода. Решение двойственной задачи можно получить непосредственно из симплекс-таблицы, соответствующей оптимальному решению прямой задачи. Таким образом, определив двойственную задачу на основе стандартной формы прямой задачи, после вычислений симплекс-метода мы автоматически получаем решение двойственной задачи. Переменные и ограничения двойственной задачи формируются путем симметричных структурных преобразований прямой задачи по следующим правилам:

Каждому из m ограничений прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи.

Каждой из n переменных прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи.

Коэффициенты при какой-либо переменной в ограничениях прямой задачи становятся коэффициентами ограничения двойственной задачи, соответствующей этой переменной, а правая часть формируемого ограничения равна коэффициенту при этой переменной в выражении целевой функции.

Коэффициенты целевой функции двойственной задачи равны правым частям ограничений прямой задачи.