- •Вопросы по дисциплине «Математические модели информационных процессов управления» 2009-2010 учебный год
- •Моделирование, виды моделирования.
- •1.1 Виды моделирования
- •Преобразование неравенств в равенства
- •Алгоритм симплекс метода
- •Двухэтапный метод.
- •Вырожденность
- •Альтернативные оптимальные решения
- •Неограниченные решения
- •Отсутствие допустимых решений
- •Двойственная задача. Определение.
- •Соотношение между прямой и двойственными задачами.
- •Алгоритм построения минимального остовного дерева.
- •Алгоритм Дейкстры.
- •Глава 6. Сетевые модели
Неограниченные решения
В некоторых задачах ЛП значения переменных могут неограниченно возрастать
без нарушения ограничений. Это говорит о том, что пространство допустимых решений не ограничено по крайней мере по одному направлению. В результате этого
целевая функция может возрастать (задача максимизации) или убывать (задача
минимизации) неограниченно.
Неограниченность решения задачи свидетельствует только об одном: модель разработана не достаточно корректно. Типичные ошибки, приводящие к построению та-
ких моделей, заключаются в том, что не учитываются ограничения, не являющиеся
избыточными, и не точно оцениваются параметры (коэффициенты) ограничений.
В следующем примере показано, как на основе данных, приведенных в симплекс-таблице, можно определить, когда не ограничено пространство решений
и значения целевой функции.
Отсутствие допустимых решений
Если ограничения задачи ЛП несовместны (т.е. они не могут выполняться одно-
временно), то задача не имеет допустимых решений. Такая ситуация не может воз-
никнуть, если все неравенства, составляющие систему ограничений, имеют тип "<"
с неотрицательными правыми частями, так как в этом случае дополнительные переменные могут составить допустимое решение. Для других типов ограничений используются искусственные переменные. И хотя в оптимальном решении все искусственные переменные в силу штрафов равны нулю, такой исход возможен только
тогда, когда задача имеет непустое пространство допустимых решений. В против-
ном случае в оптимальном решении будет присутствовать хотя бы одна положи-
тельная искусственная переменная.
С практической точки зрения отсутствие допустимых решений свидетельствует
о том, что задача плохо сформулирована.
Двойственная задача. Определение.
При изложении теории двойственности часто рассматривают формулировки двойственной задачи в зависимости от различных видов прямой задачи, которые определяются типами ограничений, знаками переменных (неотрицательные или свободные, т.е. без ограничения в знаке) и типом оптимизации (максимизация или минимизация целевой функции). Приведем единую формулировку двойственной задачи, применимую ко всем видам прямой задачи. В основу такой формулировки положена стандартная форма прямой задачи. Напомним, что задача ЛП в стандартной форме записывается следующим образом. Максимизировать или минимизировать целевую функцию
при ограничениях
В состав n переменных хj входят также дополнительные переменные. Стандартная форма задачи линейного программирования предполагает выполнение следующих условий.
Все ограничения записаны в виде равенств (с неотрицательной правой частью).
Все переменные неотрицательны.
Оптимизация определяется как максимизация или минимизация целевой функции.
Стандартная форма задачи линейного программирования порождает стандартную таблицу симплекс-метода. Решение двойственной задачи можно получить непосредственно из симплекс-таблицы, соответствующей оптимальному решению прямой задачи. Таким образом, определив двойственную задачу на основе стандартной формы прямой задачи, после вычислений симплекс-метода мы автоматически получаем решение двойственной задачи. Переменные и ограничения двойственной задачи формируются путем симметричных структурных преобразований прямой задачи по следующим правилам:
Каждому из m ограничений прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи.
Каждой из n переменных прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи.
Коэффициенты при какой-либо переменной в ограничениях прямой задачи становятся коэффициентами ограничения двойственной задачи, соответствующей этой переменной, а правая часть формируемого ограничения равна коэффициенту при этой переменной в выражении целевой функции.
Коэффициенты целевой функции двойственной задачи равны правым частям ограничений прямой задачи.