Определённый и несобственный интегралы

Задание 45. Вычислить определённый интеграл.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

Задание 46. Вычислить определённый интеграл.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

Задание 47. Найти несобственный интеграл или доказать, что он расходится.

1. а)  ,

б)  .

2. а)  ,

б)  .

3. а)  ,

б)  .

4. а)  ,

б)  .

5. а)  ,

б)  .

6. а)  ,

б)  .

7. а)  ,

б)  .

8. а)  ,

б)  .

9. а)  ,

б)  .

10. а)  ,

б)  .

11. а)  ,

б)  .

12. а)  ,

б)  .

13. а)  ,

б)  .

14. а)  ,

б)  .

15. а)  ,

б)  .

16. а)  ,

б)  .

17. а)  ,

б)  .

18. а)  ,

б)  .

19. а)  ,

б)  .

20. а)  ,

б)  .

21. а)  ,

б)  .

22. а)  ,

б)  .

23. а)  ,

б)  .

24. а)  ,

б)  .

25. а)  ,

б)  .

26. а)  ,

б)  .

27. а)  ,

б)  .

28. а)  ,

б)  .

29. а)  ,

б)  .

30. а)  ,

б)  .

4. Задания с экономическим содержанием

Указание: вместо n подставить номер вашего варианта.

Задание 48. Функции спроса и предложения на некоторый товар на рынке описываются зависимостями вида: .

Найти:

• наибольшую равновесную цену ;

• пределы отношений спроса и предложения, характеризующие различные изменения ситуации на рынке:

; ; ; ;

• эластичность спроса на товар в точке равновесной цены .

Задание 49. Пусть количество реализованного товара, при этом функции затрат и дохода описываются зависимостями вида:

.

Определить:

• средние и предельные издержки при ;

• найти максимум прибыли: .

Задание 50. В моделях потребительского спроса используются функции Торнквиста, моделирующие связь между величиной дохода (Q) и величиной спроса потребителей (S). Рассмотрим функцию Торнквиста, моделирующую спрос потребителей на предметы роскоши: .

• Провести полное исследование этой функции и построить её график.

• Провести экономическую интерпретацию результатов.

Задание 51. Пусть количество реализованного товара, функция предельных издержек имеет вид: .

• Найти аналитический вид функции средних издержек.

• Определить величину средних издержек при изменении на отрезке [10;20].

Образцы решения заданий контрольной работы

Задание 1. Доказать, что  , указать .

Доказательство:

Согласно определению предела числовой последовательности необходимо для любого найти номер такой, что при любых выполнялось неравенство .

Рассмотрим модель .

Так как можно записать цепочку неравенств .

То есть, поскольку нам не требуется найти наименьшее , можно записать , откуда и в этом случае — целая часть числа .

Итак, получается, что при выполнено неравенство , что и требовалось доказать.

Задание 2. Вычислить предел числовой последовательности  .

Решение:

.

Для раскрытия неопределённости данного вида преобразуем выражения, стоящие под знаками пределов, поделив и числитель, и знаменатель на наибольшую степень . Для этого сначала определим наибольшую степень числителя, а затем знаменателя.

Для числителя имеем: ~ и ~ , следовательно, получим , а для знаменателя — ~ , т. е. тоже .

Поделим и числитель, и знаменатель на :

.

Следовательно, .

Задание 3. Вычислить предел числовой последовательности  .

Решение:

Заметим, что , а , поэтому

Неопределенность вида раскрывается с помощью второго замечательного предела .

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела следующим образом:

Итак, .

Задание 4. Вычислить предел функции  .

Решение:

.

Задание 5. Вычислить предел: .

Решение:

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на множители. Заметим, что . Так как при , значит, делится на .

Поделим «столбиком» многочлен   на двучлен  :

_
_
_
0

Следовательно,

Задание 6. Вычислить предел функции  .

Решение:

Задание 7. Вычислить предел функции 

Решение:

Задание 8. Вычислить предел функции  .

Решение:

.

Задание 9. Вычислить предел функции  .

Решение:

.

Раскроем эту неопределенность, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю и преобразуем результат:

.

Задание 10. Вычислить предел функции  .

Решение:

Заметим, что , а , поэтому

Неопределенность вида раскрывается с помощью второго замечательного предела .

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела следующим образом:

Итак, .

Задание 11. Вычислить предел функции  .

Решение:

Заметим, что , а , поэтому искомый предел равен , т. е.  .

Задание 12. Вычислить предел функции  .

Решение:

Воспользуемся первым замечательным пределом .

Имеем:      .

Задание 13. Исследовать функцию   на непрерывность.

Решение:

Поскольку элементарные функции непрерывны, то данная функция непрерывна всюду за исключением, быть может, двух точек:  и .

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках.

Для этого найдем пределы функции в точках   и   слева и справа:

, значит  .

Найдем .

, т. е. , следовательно, функция непрерывна в точке .

, следовательно, в точке функция терпит разрыв.

Таким образом, исходная функция непрерывна всюду кроме точки , которая является точкой разрыва первого рода.

Задание 14. Исследовать на непрерывность функцию в точках и .

Решение:

Легко видеть, что при    , таким образом, в точке   данная функция непрерывна, а в точке   функция неопределенна.

Найдем левый и правый пределы функции в этой точке:

  значит, точка   является точкой разрыва функции, а поскольку один из пределов бесконечен, то эта точка разрыва второго рода.

Задание 15.¹ Найти производную функции  .

Решение:

.

Задание 16. Найти производную функции  .

Решение:

.

Задание 17. Найти производную функции  .

Решение:

Задание 18. Найти производную функции  .

Решение:

Задание 19. Для функции   и  вычислить .

Решение:

Задание 20. Найти производную n-го порядка функции  .

Решение:

;

;

; и т. д.

Исходя из полученного, можно выявить следующую закономерность:  .

Задание 21.² Вычислить предел  .

Решение:

Задание 22. Вычислить предел  .

Решение:

Задание 23. Вычислить предел  .

Решение:

, т. е. сразу правило Лопиталя применить нельзя.

Путём тождественных преобразований выражения, стоящего под знаком предела, сначала сведём неопределённость вида к неопределённости вида :

Задание 24. Вычислить предел  .

Решение:

Задание 25. Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение:

1. .

2. Так как область определения не симметрична относительно нуля, то функция   является функцией общего вида.

3. Нули функции: .

4. Пересечений с осью ординат нет, так как .

5. Найдём асимптоты:

   1. Вертикальная асимптота: . Исследуем поведение функции вблизи асимптоты справа. Для этого найдем предел:

.

2. Наклонные асимптоты:

, т. е. наклонных асимптот нет.

3. Горизонтальных асимптот нет.

1. Найдем экстремумы функции:

.

Рис. 1.

Из рис. 1 следует, что — точка максимума, а — точка минимума.

,  .

7. Найдем точки перегиба:

. См. рис. 2.

Рис. 2.

— ордината точки перегиба.

8. Сведём в таблицу все результаты проведённого исследования.

   				Точка перегиба

9. График данной функции представлен на рис. 5.

Рис. 5.

Задание 26. Провести полное исследование функции  и построить её график.

Решение:

1. . В точке знаменатель данной функции обращается в ноль, следовательно функция в ней не определена — терпит разрыв.

2. и , следовательно функция общего вида.

3. , следовательно функция непериодическая.

4. Нули функции:   при  .

5. Найдем асимптоты данной функции:

1. Вертикальная асимптота:   и  , отсюда следует, что существует вертикальная асимптота .

2. Наклонная асимптота находится по формуле:  . Так как  ;  , то уравнение наклонной асимптоты будет иметь вид:  .

3. Горизонтальных асимптот нет, так как  .

6. Найдем экстремумы функции:

, значит  ,  и  — стационарные точки I рода.

— точка локального максимума, и  , а точке экстремума нет, так как в ней функция терпит разрыв. Смотрите рис. 6.

Рис. 6.

7. Найдём точки перегиба:

, значит   и  — стационарные II рода.

В точке   функция имеет перегиб. Ордината точки перегиба — . Смотрите рис. 7.

Рис. 7.

8. Сведём в таблицу все результаты проведённого исследования.

   				Точка разрыва		Точка перегиба

9. График данной функции представлен на рис. 8.

Рис. 8.

Задание 27. Найти наименьшее и наибольше значения функции на отрезке .

Решение:

. Имеем  , так как  .

   для поиска экстремумов необходимо найти:

Задание 28. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

Задание 29. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

Воспользуемся методом замены:

Задание 30. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

.

Заметим, что приведенное решение наглядно демонстрирует метод замены, но слишком «громоздко». Запись решения можно упростить, если воспользоваться очевидным выражением . С помощью этого равенства можно «заносить» необходимый множитель под знак дифференциала (См. Приложение).

Продемонстрируем эту идею на примере:

Задание 31. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

.

Задание 32. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

.

Задание 33. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

.

Задание 34. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

Заметим, что , следовательно,

Задание 35. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

.

Задание 36. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

.

Задание 37. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

.

Задание 38. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

Задание 39. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

.

Задание 40. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

.

Задание 41. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

.

Задание 42. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

.

Задание 43. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

Преобразуем дробь, стоящую под знаком интеграла — выделим у неё целую часть, поделив числитель на знаменатель «уголком»:

_
_

.

Далее разложим знаменатель полученной дроби на множители. Для этого будем искать возможные корни знаменателя методом подбора среди делителей свободного члена. Очевидно, что таким корнем будет , т. к. при знаменатель данной дроби обращается в ноль. Поделим знаменатель на :

_
_
_

Таким образом, и тогда

.

.

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений, которая в некоторых случаях может оказаться достаточно громоздкой, применяют, так называемый, «метод произвольных значений», суть которого состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений . Для упрощения вычислений в качестве произвольных значений принято принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т. е. в нашем случае —  ,   и  .

В итоге получим следующую систему уравнений:  .

Корнями этой системы будут:  ,  , и  .

Окончательно получаем, что 

Задание 44. Найти неопределенный интеграл  .

Решение:

.

Задание 45. Вычислить определенный интеграл  .

Решение:

Задание 46. Вычислить определенный интеграл  .

Решение:

.

Задание 47. Найти несобственный интеграл или доказать, что он расходится: a) ; б) .

Решение:

1. 

, т. е. данный интеграл расходится;

2. 

, значит данный интеграл сходится.

Приложение

Правила дифференцирования

1. , — константа;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. , если и ;

7. , если и ;

8. .

Формулы дифференцирования

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. .

Формулы занесения «под знак дифференциала»

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. .

Таблица основных интегралов

1. ;

2. , при ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. .