Лекции 9,10,11. Техническая теория изгиба плит

Основные зависимости в плитах

Плитой называют плоское упругое тело, два размера которого велики по сравнению с третьим, называемым толщиной плиты. Плиты воспринимают нагрузку, перпендикулярную своей плоскости и передают ее на опоры, сосредоточенные в отдельных точках (изолированные) или распределенные вдоль некоторой линии – опорного контура. Нагрузка передается на опоры за счет изгиба плит из своей плоскости. Излагаемая ниже теория изгиба плит применима для тонких плит, у которых отношение толщины к другому наименьшему размеру менее, чем 0,1. Если соотношение в размерах плиты не отвечает приведенному условию, то такая плита считается толстой.

Геометрическое место точек, равноудаленных от верхней и нижней наружных поверхностей плиты, называют срединным слоем. Изогнутое положение точек срединного слоя будем называть изогнутой срединной поверхностью.

Основные допущения теории плит

1. Гипотеза прямых нормалей – прямоугольный материальный элемент, перпендикулярный к срединному слою и заключенный между верхней и нижней наружными поверхностями плиты в процессе изгиба не искривляется и остается перпендикулярным к изогнутой срединной поверхности плиты. Это допущение аналогично гипотезе плоских сечений в теории изгиба балок. Считается, прямолинейный элемент при изгибе сохраняет свою длину.

2. Гипотеза нейтрального срединного слоя – срединный слой, деформируясь из своей плоскости, в своей плоскости деформаций не претерпевает. Сетка линий, мысленно нанесенная на срединный слой, при изгибе плиты не испытывает удлинения (укорочения) и сдвигов. Аналогичная гипотеза используется в теории балок.

3. Гипотеза плоского напряженного состояния – нормальные напряжения и относительные деформации, перпендикулярные срединному слою, весьма малы по сравнению с напряжениями и деформациями, параллельными срединному слою, и ими можно пренебречь. Таким образом, каждый бесконечно тонкий слой пластинки, параллельный срединной поверхности, находится в условиях плоского напряженного состояния. В теории изгиба балок используется гипотеза о том, что продольные волокна балок находятся в условиях одноосного напряженного состояния.

4. Гипотеза малости перемещений – перемещения точек срединного слоя происходят по перпендикуляру к нему и они малы по сравнению с толщиной плиты (менее трети толщины).

Схема решения задачи изгиба плит

1. Анализ статической стороны задачи: выражение внутренних усилий через напряжения, дифференциальные уравнения равновесия, выяснение статической неопределимости.

2. Анализ геометрической стороны задачи: выражение перемещений и деформаций через прогибы.

3. Анализ физической стороны задачи: выражение напряжений через прогибы плиты, выражение внутренних усилий через прогибы плиты, раскрытие статической неопределимости – выражение условий равновесия через прогибы.

4. Формулировка граничных условий: выражение статических граничных условий через прогибы плиты.

5. Изучение методов расчета плит

Анализ статической стороны задачи. Выражения внутренних усилий через напряжения в плитах

Рассмотрим элемент плиты размером в плане единица на единицу. Оси  и  расположим в срединной плоскости, ось  направим вниз (Рис. 25). На расстоянии  от срединного слоя рассмотрим слой толщиной  с действующими на нем напряжениями.

Рисунок 25

Тогда выражение вида

(1)

представляет собой дифференциал момента, изгибающего ось . Полный изгибающий момент, действующий в сечении единичной ширины, представляет собой интеграл по толщине плиты от выражения (1), т.е.

(2)

Аналогично получается погонный изгибающий момент в направлении оси 

(3)

Если рассматривать выражения, аналогичные (1), для касательных напряжений, то получим крутящие моменты в направлении осей  и :

(4)

(5)

В силу закона парности касательных напряжений равны друг другу и погонные крутящие моменты, т.е. .

Равнодействующие вертикальных касательных напряжений по граням, выделенного на рисунке 25 элемента, дают погонные поперечные силы, действующие в плоскостях с нормалями  и 

(6)

(7)

Все внутренние усилия изображены на рисунке 25-б. Правило знаков внутренних усилий в плитах: положительные усилия должны вызывать положительные напряжения в положительном октанте. Все усилия (Рис. 25-б) положительны.

Размерности усилий в плитах. Поперечные силы имеют размерность силы, деленной на длину. Размерности погонных изгибающих и крутящих моментов равны размерности моментов,деленной на длину, т.е.