Тема 3. Интегрирование рациональных и иррациональных функций
Интегралы
от рациональных дробей
и
3.1. Найти интегралы.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Интегралы
от рациональной дроби
(
)
3.2. Найти интегралы.
1)
;
2)
;
3)
.
Интегралы от правильной дробно-рациональной функции
3.3. Найти интегралы, используя метод неопределенных коэффициентов.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
; 5)
;
6)
.
Интегралы от неправильной дробно-рациональной функции
3.4. Найти интегралы.
1)
;
2)
;
3)
.
Интегралы от простейших иррациональных функций
3.5 Найти интегралы.
1)
; 2)
;
3)
;
4)
.
Тема 4. Вычисление определенного интеграла
Понятие определенного интеграла
4.1.
Вычислить интегральную сумму S5
для интеграла
,
разбив отрезок [1;2] на пять равных частей
и взяв в каждой части ее середину.
Сравнить с точным значением интеграла.
1)
;
2)
Вычисление определенного интеграла
4.2. Вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.
1)
; 2)
;
3)
;
4)
5)
6)
.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5); 6)
.
Замена переменной в определенном интеграле
4.3. Вычислить определенный интеграл заменой переменной.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
7)
;
8)
;
9)
.
Тема 5. Вычисление площадей плоских фигур
5.1. Найти площади фигур, ограниченных линиями.
1)
,
,
,
.
2)
,
,
,
.
3)
,
.
4)
,
,
.
5)
,
,
.
6)
,
,
.
Тема 6. Несобственные интегралы. Определенный интеграл в экономике
Несобственные интегралы
6.1. Исследовать сходимость и вычислить сходящиеся интегралы.
1)
; 2)
;
3)
;
4)
,
;
5)
;
6)
;
7)
Определенный интеграл в экономике
Нахождение функций по известным предельным величинам
Приращение
функции
на отрезке
равно значению определенного интеграла
от производной
,
т.е.
.
6.2.
Найти прирост капитала предприятия на
данном промежутке времени, если скорость
изменения инвестиций задана функцией:
,
.
6.3.
Функция предельных издержек имеет вид
.
Найти функцию издержек, если фиксированные
издержки составляют 2500 руб. в месяц.
Каковы издержки производства 250 изделий
в месяц?
Указание к решению. 1) Если известна функция предельных издержек, то для нахождения функции издержек используется интегрирование. 2) Для определения постоянной интегрирования необходимо дополнительное условие: значение функции издержек в точке ( - число единиц произведенной продукции) равно значению фиксированных издержек.
Нахождение средних значений функции.
Среднее
значение непрерывной функции на
промежутке
находится по формуле
.
6.4.
Уравнение
спроса на некоторую продукцию имеет
вид
.
Найти среднее значение дохода,
если объем продаж возрос с 80 до 150 единиц.
6.5.
Функция совокупных издержек производства
продукции имеет вид
.
Найти среднее значение издержек при
изменении объема производства от 100 до
200 единиц.
Нахождение максимальных значений функции
6.6.
Найти, сколько лет нужно продолжать
добычу полезных ископаемых до достижения
максимального значения прибыли, если
скорость изменения издержек и дохода
имеет следующий вид:
,
.
6.7. Функция предельных издержек имеет вид . Найти функцию издержек, если фиксированные издержки составляют 250 руб. в месяц. Если продукция продается по цене 75 руб. за изделие, сколько нужно произвести и продать, чтобы прибыль была максимальной?