mekhanik7
.docx-
Вращательное движение. Его кинематические и динамические характеристики
Враща́тельное движе́ние — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами
2. Кинематика вращения
1. При вращательном движении твердого тела величина пройденного пути всех точек тела различна, а дуги всех точек тела опираются на одинаковые центральные углы.
Угол поворота (первая кинематическая характеристика вращательного движения).
Существуют две меры измерения углов: градусная и радианная.
В физике принята только радианная мера измерения углов.
Если известен пройденный телом путь и радиус орбиты, по которой оно движется, то можно получить формулу взаимосвязи линейных и угловых характеристик:
.
Это выражение радианной меры угла.
С точки зрения физики, в данной формуле S длина пройденного пути какой-то точкой тела, а R - радиус ее траектории.
Эта формула является взаимосвязью угловой характеристики движения с линейной.
Угловая характеристика - это характеристика движения тела в целом.
Линейная характеристика - это характеристика любой точки этого тела.
2. Если есть угол поворота, то существует угловая скорость (средняя угловая скорость и мгновенная угловая скорость).
.
Мгновенная угловая скорость равна
.
Можно найти связь между угловой скоростью и линейной скоростью любой точки этого тела:
.
3. Очень часто вместо угловой скорости используется понятие частоты вращения ( величина, равная числу оборотов в единицу времени)
4. Если , то вращение равномерное, его характеризуют периодом вращения Т ( время, за которое точка совершает один полный оборот).
.
5. Аналогично можно ввести понятие углового ускорения, если тело вращается равноускоренно, то
.
3. Динамические характеристики вращения твердого тела
Динамика вращения тоже требует введения новых характеристик движения твердого тела.
Такими характеристиками являются момент инерции, момент силы и момент импульса.
1. Момент инерции (материальной точки и твердого тела).
а). Моментом инерции материальной точки называется скалярная величина, численно равная произведению массы точки на квадрат радиуса орбиты, по которому движется точка.
.
Так как момент инерции скалярная величина, то момент инерции системы материальных точек, составляющих систему, равен сумме моментов инерции материальных точек, входящих в данную систему.
б). Отсюда можно найти момент инерции тела.
Тело разбивается на материальные точки, тогда момент инерции тела будет равен сумме моментов инерций материальных точек, составляющих данное тело.
.
ВЫВОД: Момент инерции зависит не только от массы тела и его размеров, но и от распределения массы относительно оси вращения.
Для упрощения нахождения момента инерции тела используется теорема Штейнера: Момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.
.
2. Действие силы при вращении зависит не только от величины этой силы, но и от ее расположения относительно оси вращения (удаленность силы, направленность силы).
Моментом силы называется векторная величина, равная произведению силы на плечо этой силы.
Плечо силы - это длина перпендикуляра от оси вращения до линии действия силы.
.
Примечания:
1. Силы, линия действия которых проходит через ось вращения, не создают вращательного момента.
2. Силы, параллельные оси вращения, тоже не создают вращательного момента силы.
3. Момент импульса (количества движения) - это векторная величина, численно равная произведению момента инерции на угловую скорость.
.
Момент импульса направлен вдоль оси вращения так, чтобы его направление совпадало с поступательным движением правого винта.
-
Связь угловой и линейной скоростей материальной точки при ее вращении вокруг неподвижной оси
Угловой скоростью вращения называется вектор, численно равный первой производной угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:
Единица измерения угловой скорости радиан в секунду (рад/с). Таким образом, вектор ω определяет направление и быстроту вращения. Если ω=const, то вращение называется равномерным. Угловая скорость может быть связана с линейной скоростью υ произвольной точки А. Пусть за время Δt точка проходит по дуге окружности длину пути Δs. Тогда линейная скорость точки будет равна:
-
Момент инерции материальной точки твердого тела. От каких факторов зависит момент инерции твердого тела
Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
Если — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен
,
где — полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
-
Виды механической энергии
В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Кинетической энергией называют механическую энергию всякого свободно движущегося тела и измеряют ее той работой, которую могло бы совершить тело при его торможении до полной остановки.
Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Понятие «потенциальная энергия» имеет место только для консервативных систем, т.е. систем, у которых работа действующих сил зависит только от начального и конечного положения системы. Так, для груза весом P, поднятого на высоту h, потенциальная энергия будет равна En = Ph (En = 0 при h = 0); для груза, прикрепленного к пружине, En = kΔl2 / 2, где Δl - удлинение (сжатие) пружины, k – ее коэффициент жесткости (En = 0 при l = 0); для двух частиц с массами m1 и m2, притягивающимися по закону всемирного тяготения, , где γ – гравитационная постоянная, r – расстояние между частицами (En = 0 при r → ∞).
-
Закон сохранения энергии в механике
Закон сохранения энергии: при взаимодействии тел общая энергия всей системы взаимодействующих тел остаётся постоянной величиной — происходит лишь перераспределение энергии между телами и преобразование её из потенциальной формы в кинетическую и обратно (в более общем случае возможно преобразование энергии в другие виды, например из механической в электромагнитную или тепловую, однако суммарная энергия системы всё равно не изменяется). Внимание! Закон сохранения механической энергии неинвариантен и в полной мере выполняется лишь в одной инерциальной системе отсчёта, неподвижной относительно центра масс всей системы взаимодействующих тел!
-
Маятник максвелла
Маятник Максвелла представляет собой диск, неподвижно закрепленный на тонком стержне. На концах стержня симметрично относительно диска закреплены нити, с помощью которых маятник подвешен к штативу. При вращении маятника нити могут наматываться на стержень или сматываться с него, обеспечивая тем самым перемещение маятника вверх - вниз. Если, намотав нити на ось, поднять маятник на некоторую высоту и отпустить его, то он начнет опускаться под действием силы тяжести, приобретая одновременно и вращательное движение. В нижней точке, когда маятник опустится на полную длину нитей, поступательное движение вниз прекратится. Нити станут наматываться на вращающийся по инерции стержень, а маятник начнет подниматься вверх, постепенно замедляя свое вращение. После достижения наивысшей точки цикл колебательного движения возобновится.
-
Вывод расчетной формулы
Если mg — сила тяготения; T — сила натяжения одной нити; R — радиус стрежня; J — момент инерции маятника; тогда уравнение для поступательного движения можно записать так: mg − 2T = ma,
где a — ускорение центра масс. Уравнение для вращательного движения при этом будет иметь вид: M = mR(g − a) = 2TR=J e,
где e – угловое ускорение.
Маятник движется с постоянным ускорением. Если h – расстояние, пройденное за время t, при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью, то момент инерции можно найти по формуле: J=mR2((gt2)/(2h)-1).
-
Какую часть полной кинетической энергии диска составляет кинетическая энергия вращательного движение диска при скатывании его по наклонной плоскости с некоторой высоты