Тема 3. Функции одной переменной

3.1. Найти и построить область определения функций одной переменной.

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

3.2. Установить, является ли функция четной или нечетной.

а) ; б) ;

в) ; г) .

3.3. По заданным функциям и построить сложную функцию

3.4. Определить графически число корней уравнения.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Тема 4. Функции нескольких переменных

4.1. Найти значения функции при заданных значениях аргументов.

1) , , ;

2) , , ;

3) ; , .

4.2. Построить область изменения переменных и , заданную следующими неравенствами.

1) , ; 2) ;

3) ; 4) .

4.3. Найти область определения функций двух переменных и изобразить ее графически.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

4.4. Построить линии уровня функций двух переменных при заданных значениях .

1) , ; 2) , ;

3) , ; 4) , .

Тема 5. Предел функции

Вычисление предела

5.1. Вычислить пределы функций.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

Первый замечательный предел

5.2. Используя первый замечательный предел, вычислить пределы.

Тема 6. Непрерывные функции

Точки разрыва функции

6.1. Найти точки разрыва функции

Непрерывность функции на отрезке

6.2. Исследовать на непрерывность функцию на отрезке:

Характер точек разрыва

6.3. Определить характер точек разрыва функции.

Модуль 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Тема 1. Производная функции одной переменной

Вычисление производных

1.1. Вычислить производные.

1.2. Вычислить производные.

Производные сложных функций

1.3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найти производные функций.

1) y = cos (x² +2x - 4); 2) y = sin (x³ - 3x +5); 3) y = sin e^x;

4) y = cos ln x; 5) y = e ^2x-3; 6) y = e :

7) y = e^tgx .; 8) y = e^sinx; 9) y = ln(1+2 );

10) y = ln( 2x² +4x -1).

Касательная к графику функции

1.4. Составить уравнения касательных к графикам функций:

1) y = x² - 3x + 2 в точке (3;2).

2) y = в точке (4;2).

3) y = ln x в точке пересечения с осью Оx.

3) y = x² - 5x + 6 в точках пересечения с осью Оx.

4) y = e^7x в точке пересечения с осью Оy.

Тема 2. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной

Производные высших порядков

2.1. Найти производные 2-го порядка от функций:

1) y = e^x cosx; 2) y = x² e^x ; 3) y = ln(2x+5); 4) y = x lnx.

2.2. Найти производные n-го порядка от функций:

1) y = ; 2) y = e^2x; 3) y = 5^x; 4) y = ln(1+x).

Понятие дифференциала

2.3. Найти дифференциалы функций:

1) y = x³ – 3ln x; 2) y = ; 3) y = sin 3x; 4) y = tg ln x.;

5) y = x² arctg x; 6) y = ; 7) y = ; 8) y = .

2.4. Найти приближенно приращение у:

1) функции у = , если х = 4, х = 0,08;

2) функции у = sinx, если х = , х = 0,02.

Дифференциал второго порядка

2.5. Найти дифференциалы 2-го порядка от функций:

1) y = x³ – 3x² + x + 1; 2) y = (0,1x+1)⁵;

3) y = xcos2x; 4) y = sin²x.

Вычисление пределов с помощью производных (правило Лопиталя)

2.6. Найти пределы с помощью правила Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 8) ; 9)