Тема 3. Частные производные и дифференциалы функции двух переменных
Частные производные первого порядка
3.1. Найти частные производные 1-го порядка функции:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
Частные производные высших порядков
3.2. Найти частные производные 2-го порядка. Убедиться в равенстве смешанных производных.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
3.3. Найти частные производные 3-го порядка для функций.
1)
;
2)
.
Градиент функции двух переменных
3.4.
Найти
для
функции:
1)
2)
3)
; 4)
3.5. Построить линии уровня и в точке А(1;2) для функций:
1)
; 2)
;
3)
.
Дифференциалы функций двух переменных
3.6.
Найти полный
дифференциал и вычислить его в точке
.
1)
;
2)
.
3.7.
Найти
дифференциалы второго порядка
для функций.
1)
;
2)
;
3)
.
Тема 4. Экстремум, наибольшее и наименьшее значения функции одной переменной
Экстремум функции
4.1. Найти максимумы, минимумы и промежутки возрастания и убывания функций.
1)
; 2)
3)
; 4)
.
Наибольшее и наименьшее значения функции
4.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
на
отрезке [0;2]; 2)
на отрезке [-3;0];
3)
на отрезке
;
4)
на отрезке
.
Тема 5. Экстремум функции двух переменных
Безусловный экстремум функции
Найти
экстремумы функции
.
5.1.
.
5.2.
.
5.3.
.
5.4.
.
5.5.
.
5.6.
.
Условный экстремум функции
5.7. Найти условные экстремумы функций, применяя метод подстановки.
,
если
;
,
если
;
,
если
.
Тема 6. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области
1 Случай. Функция общего вида и произвольная область
6.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области.
1)
функция
,
границы области {
,
,
};
2)
функция
область решений неравенств
3)
функция
,
границы области {
,
,
};
4)
функция
,
область решений неравенств {
,
,
};
5)
функция
,
область решений неравенств
2 Случай. Линейная функция и область решений линейных неравенств
6.2.
Найти
наибольшее и наименьшее значения
линейной функции
в области, заданной системой линейных
неравенств.
1)
функция
область
2)
функция
,
область {
,
,
};
3)
функция
область
4)
функция
область {
,
,
}.
Модуль 3. Интегральное исчисление
Тема 1. Непосредственное интегрирование
Понятие неопределенного интеграла.
1.1. Проверить, что:
Вычисление неопределенных интегралов
1.2. Вычислить интегралы:
Тема 2. Интегрирование методом замены переменной и по частям
Замена переменной в неопределенном интеграле
2.1. Найти интегралы методом замены переменной
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7) ; 8) ;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
.
Метод интегрирования по частям
2.2. С помощью метода интегрирования по частям найти интегралы.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
