5.8. Уравнения Гамильтона

Существует еще одна форма уравнений движения, в некоторых случаях более удобная, чем уравнения Лагранжа. Это так называемые канонические уравнения или уравнения Гамильтона. Они получаются из уравнений Лагранжа и для x-координаты имеют вид

и аналогично для y- и z-координат. Причем, как и в случае уравнений Лагранжа, координаты не обязательно должны быть декартовыми. Это могут быть (и, как правило, бывают) обобщенные координаты и соответствующие им обобщенные импульсы. Функция Н представляет собой выраженную через координаты и импульсы полную механическую энергию материальной точки: H = H(x, y, z, p_x, p_y, p_z) и называется функцией Гамильтона. Легко убедиться, что она связана с функцией Лагранжа соотношением H = 2T – L или соотношением H = L + 2U.

Убедимся в справедливости уравнений Гамильтона для одной материальной точки, движущейся вдоль оси X. Функция Гамильтона такой точки Тогда

Первое уравнение в данном случае просто определяет импульс материальной точки через ее скорость ( ), а второе представляет собой уравнение движения материальной точки вдоль оси X. В случае системы материальных точек функция Гамильтона выражается через координаты и импульсы всех материальных точек. И в общем случае первое уравнение Гамильтона определяет выражения скоростей точек через их координаты и импульсы, а вторые – это уравнения движения точек системы. Мы видим, таким образом, что полная механическая энергия, выраженная через параметры состояния системы (координаты и импульсы точек системы) полностью определяют динамику системы. Уравнения Гамильтона, как и уравнения Лагранжа, содержат большую информацию о физической системе, чем уравнения движения в форме Ньютона.

1 Напомним, что величина dm отрицательна

1 Это делается в курсе теоретической механики.