5.4. Закон сохранения энергии

Если материальная точка свободна, т.е. если F = 0, то, как следует из (4.10), и, следовательно, кинетическая энергия свободной материальной точки сохраняется:

= = const.

При движении точки под действием силы ее кинетическая энергия не будет оставаться постоянной: она будет либо возрастать, либо уменьшаться. Рассмотрим, однако, случай, когда действующие на материальную точку силы являются консервативными, т.е. когда материальная точка движется в потенциальном силовом поле. Для таких сил элементарная работа С другой стороны, согласно (4.10) Следовательно, т.е. откуда

E = + U = const. (5.10)

Таким образом, если материальная точка не свободна, но действующие на нее силы являются консервативными, то сохраняющейся величиной будет не кинетическая энергия, а величина Е, равная сумме кинетической и потенциальной энергий и называемая полной механической энергией материальной точки. Соотношение (5.10) выражает собой закон сохранения полной механической энергии. Из соотношения (5.10) видно, что увеличение (уменьшение) одного вида энергии будет в точности равно уменьшению (увеличению) другого вида энергии и когда один вид энергии обращается в нуль, другой вид энергии становится равным полной механической энергии. Это означает, что при движении материальной точки в потенциальном силовом поле кинетическая энергия может переходить в потенциальную энергию, и наоборот. Поэтому соотношение (5.10) выражает собой не только закон сохранения, но и превращения энергии (превращения одного вида механической энергии в другой).

Мы получили закон сохранения энергии для одной материальной точки, движущейся в потенциальном силовом поле. Но закон сохранения энергии может быть сформулирован и в случае системы движущихся материальных точек и взаимодействующих между собой посредством консервативных сил. Для простоты ограничимся двумя материальными точками. Полная механическая энергия такой системы будет иметь вид

(5.11)

где индексы 1 и 2 относятся соответственно к первой и второй точкам системы, - энергия взаимодействия материальных точек (зависит от положения каждой точки системы, т.е. от их радиус-векторов r₁ и r₂). Будем считать, что система не находится во внешнем переменном поле - замкнута. Тогда продифференцировав соотношение (А) по времени, получим

(5.12)

Учитывая, что

i = 1, 2, придем к равенству откуда Следовательно, полная механическая энергия замкнутой системы двух материальных точек, взаимодействующих посредством консервативных сил, сохраняется. Аналогично можно показать выполнимость закона сохранения полной механической энергии и для замкнутой системы любого числа взаимодействующих материальных точек.

При получении равенства (5.12) было учтено, что энергия взаимодействия тел явно от времени не зависит, поэтому = 0. В противном случае в правой части этого равенства следовало бы поставить дополнительное слагаемое . Получили бы соотношение ≠ 0, и энергия системы не была бы постоянной во времени.

Отсутствие явной зависимости энергии взаимодействия от времени обусловлено однородностью времени. Действительно, так как моменты времени и эквивалентны, то потенциальная энергия при любом τ, а это возможно, если U(t) = const. Так устанавливается связь закона сохранения энергии с однородностью времени.

Если в системе наряду с консервативными силами действуют и другие, неконсервативные силы (их можно называть сторонними силами), то работу, совершаемую всеми этими силами, можно представить в виде суммы работ консервативных и сторонних сил. При этом работу консервативных сил можно выразить через убыль потенциальной энергии. Тогда получим

откуда или

Следовательно, приращение полной механической энергии материальной точки (или системы материальных точек) на некотором пути равно работе сторонних сил, действующих на точку (или систему). Если работа совершается над материальной точкой (системой), т.е. если то ее полная механическая энергия увеличивается ( ). Если же сама материальная точка (система) совершает работу по преодолению сторонних сил, т.е. если то ее полная механическая энергия уменьшается ( ). Это означает, что материальная точка (система) может совершить работу только за счет расходования имеющейся у нее механической энергии (полной или какого-либо ее вида). Если же энергия не изменяется ( ), то работа не совершается ( ). В соответствии с этим выводом закон сохранения механической энергии формулируют в виде утверждения о невозможности вечного двигателя в механике, т.е. устройства, которое совершало бы работу не расходуя никакого вида механической энергии.

Основным неотъемлемым свойством материи является ее движение, без которого немыслимо само понятие материи. Существует, как уже отмечалось, много различных форм движения материи: механическая, тепловая, электромагнитная и др. Общей количественной мерой движения материи во всех его формах является энергия. Различным видам движения материи соответствуют и различные виды энергии. Механическая энергия, включающая в себя кинетическую и потенциальную энергии, характеризует простейшую форму движения материи – механическую. В дальнейшем мы познакомимся и с энергиями, соответствующими тепловой, электромагнитной и другим формам движения. При определенных условиях одна форма движения материи переходит в другую ее форму (например, при трении механическое движение тел переходит в тепловое движение их структурных частиц, т.е. частиц, из которых состоят эти тела). При всех таких переходах происходит и превращение одного вида энергии в другой. Но ни при каких физических процессах, ни при каких изменениях форм движения материи энергия не исчезает и не создается вновь; она остается постоянной. Это есть закон сохранения и превращения энергии – один из основных законов природы. Закон сохранения энергии говорит о том, что движение нельзя уничтожить, также как и нельзя создать движение из ничего. В природе возможны только переходы движений из одной формы в другую или от одного тела к другому (в механике).