5.2. Закон сохранения импульса

Если материальная точка свободна, т.е. если действующая на нее сила F = 0, то из второго основного закона динамики следует, что а значит, импульс точки как динамическая мера механического движения остается постоянным во времени величиной. Это утверждение называется законом сохранения импульса. Покажем теперь, что сохраняется во времени и импульс системы материальных точек. Рассмотрим сначала случай системы, состоящей из двух материальных точек. Предположим сначала, что система не замкнута, и пусть на каждую из точек системы, кроме сил, обусловленных их взаимодействием F₁₂ и F₂₁ (внутренние силы), действуют также силы F₁ и F₂ со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему (внешние силы). Запишем уравнение движения для каждой из материальных точек:

Сложив левые и правые части этих равенств, получим

где p = p₁ + p₂ – импульс системы материальных точек, F = F₁ + + F₂ – сумма всех внешних сил, действующих на точки системы.

Если система замкнута, то F = 0. Учитывая, что по третьему закону динамики F₁₂ + F₂₁ = 0, получаем а значит, p = = p₁ + p₂ = const – импульс системы сохраняется. При любых взаимодействиях внутри системы и любых изменениях импульса каждой точки импульс всей замкнутой системы остается неизменным. Записав этот закон в виде равенства видим, что при любых изменениях импульса каждой точки системы, насколько увеличится (или уменьшится) импульс одной материальной точки, настолько же уменьшится (или увеличится) импульс другой материальной точки.

Приведенный вывод закона сохранения импульса основан на третьем законе динамики. Однако сам этот закон является следствием однородности пространства. Покажем это. Вследствие однородности пространства силы, с которыми взаимодействуют материальные точки, могут зависеть не от положения каждой отдельной точки в пространстве, определяемого радиус-векторами r₁ и r₂, а только от их взаимного расположения, т.е. от вектора разности r₁₂ = r₂ – r₁ (иначе при переносе системы в другое положение в пространстве эти силы претерпели бы изменения). Поэтому силы F₁₂ и F₂₁ будут зависеть только от соответствующих векторов r₁₂ и r₂₁: F₁₂ = F(r)e₂₁, F₂₁ = F(r) e₁₂, где e₁₂ и e₂₁ – единичные векторы, проведенные от второй точки к первой и от первой ко второй соответственно, – расстояние между точками 1 и 2. Причем вид функций F(r) вследствие равноправия взаимодействующих точек должен быть одинаковым. Но поскольку r₁₂ = – r₂₁, то и силы F₁₂ и F₂₁ равны по модулю и противоположны по направлению, т.е. F₁₂ = – F₂₁.

Тем самым мы показали, что третий закон Ньютона, а значит, и закон сохранения импульса являются следствием однородности пространства.

Тот факт, что силы взаимодействия противоположно направлены, вытекает и свойства зеркальной симметрии пространства. Действительно, если взаимодействующие материальные точки поменять местами, то вследствие зеркальной симметрии пространства взаимодействие точек не изменится. Единственной возможностью сохранения картины сил при отражении является выполнение равенства F₁₂ = – F₂₁.

Аналогичным образом можно получить закон сохранения импульса и для системы более двух материальных точек (n > 2). Для этого нужно записать уравнения движения для всех n материальных точек, сложить их и учесть, что векторы внутренних сил попарно равны по модулю и противоположны по знаку (F_ij = – F_ji) .