5.7. Уравнения Лагранжа

Важную роль во всей физике, а не только в механике, играют так называемые уравнения Лагранжа. Сформулируем их для одной материальной точки. Учитывая, что а и т.д., выражение кинетической энергии запишем в виде

.

Из этого соотношения находим: и т.д. Подставив эти выражения в уравнения движения (4.1) и учтя соотношения (4.32), приведем их к виду и аналогично для составляющих по осям Y и Z. Если ввести функцию L = – U, равную разности между кинетической и потенциальной энергией, то окончательно систему уравнений движения можно записать в виде

и т.д. (5.16)

Уравнения (5.16) называются уравнениями Лагранжа, а функция L – функцией Лагранжа. Уравнения Лагранжа записываются для каждой координаты, поэтому их число равно числу степеней свободы. Если на материальную точку кроме консервативных действуют также и силы неконсервативные (сторонние), то результирующая сила будет равна сумме (векторной) этих сил, и тогда уравнения Лагранжа примут вид

и т.д.

Здесь – алгебраическая сумма проекций на ось X всех неконсервативных сил, действующих на тело.

Как видим, уравнения Лагранжа представляют собой другую форму уравнений движения. В ряде случаев эта форма оказывается более удобной, так как получить выражение для функции Лагранжа бывает проще, чем найти все силы, действующие на тело или механическую систему. Она пригодна для описания любых систем и для любого набора координат и соответствующих им скоростей.

Функция Лагранжа играет важную роль в физике. Помимо того, что она удобна для конкретных расчетов и пригодна для описания любых систем и для любого набора координат, с ее помощью можно сформулировать один из важнейших принципов механики – принцип наименьшего действия. Он утверждает, что любая система будет совершать такие движения, при которых интеграл взятый от начальной точки 1, в которой система находилась в момент времени t₁ до конечной точки 2, в которую система пришла к моменту времени t₂, оказывается минимальным:

Величина S, имеющая размерность энергия x время, называется действием по Гамильтону. Следовательно, принцип наименьшего действия можно сформулировать в виде утверждения о том, что из всех возможных траекторий между точками 1 и 2, в которых материальная точка находится в моменты времени t₁ и t₂, лишь та отвечает действительному движению, для которой действие имеет наименьшее значение.

С помощью этого принципа можно получить, не только обычные уравнения движения в форме Ньютона, но и описать значительно более широкий класс явлений, чем чисто механических.

Э. Нетер (1918 г.) доказала теорему, согласно которой если некоторая система инвариантна относительно некоторого преобразования, то для нее существует определенная сохраняющаяся величина. В связи с этим важным является формулирование физических теорий на основе функций Лагранжа (лагранжианов). Рассмотренные выше законы сохранения являются следствиями симметрий, существующих в реальном пространстве-времени, а значит, и симметрий (инвариантностью) лагранжианов относительно преобразований переменных, входящих в них. Закон сохранения энергии является следствием временной трансляционной симметрии – однородности времени. В силу однородности времени функция Лагранжа замкнутой системы явно от времени не зависит, а зависит от координат и импульсов всех элементов, составляющих эту систему (которые зависят от времени). Несложными математическими преобразованиями можно показать¹, что это приводит к тому, что полная энергия системы в процессе движения остается неизменной. Закон сохранения импульса является следствием трансляционной инвариантности пространства (однородности пространства). Если потребовать, чтобы функция Лагранжа осталась неизменной (инвариантной) при любом бесконечно малом переносе замкнутой системы в пространстве, то получим закон сохранения импульса. Закон сохранения момента импульса является следствием симметрии относительно поворотов в пространстве, свидетельствует об изотропии пространства. Если потребовать, чтобы функция Лагранжа оставалась неизменной при любом бесконечно малом повороте замкнутой системы в пространстве, то получим закон охранения момента импульса.