5.5. Движение частицы в поле консервативных сил

Зная вид функции, которой выражается потенциальная энергия материальной точки (частицы), можно сделать ряд заключений о характере ее движения. Особенно наглядно этим способом можно исследовать одномерное движение точки. В этом случае потенциальная энергия будет зависеть только от одной координаты, например, от координаты x: U = U(x). Согласно закону сохранения энергии имеем

=

а так как кинетическая энергия величина не отрицательная, то должно выполняться неравенство Это неравенство означает, что координата частицы при своем движении может принимать только такие значения, при которых потенциальная энергия точки не превосходит ее полной энергии. Приравняв обе энергии, получим уравнение, определяющее границы области, в которой может находиться материальная точка: Эти границы зависят от полной энергии точки.

На рис. 3. вновь воспроизведен профиль потенциальной энергии показанный на рис. 5. Предположим, что полная

Рис. 5

механическая энергия материальной точки задана и равна Е. Чтобы найти границы движения материальной точки в таком силовом поле и при такой полной энергии, следует провести прямую Она пересечет кривую потенциальной энергии в трех точках, абсциссы которых обозначены через x₁, x₂ и x₃. Движение частицы возможно только в тех областях, где ее потенциальная энергия не превышает полную энергию. При полной энергии Е такое движение возможно либо в области либо в области Ограниченная область пространства, где называется потенциальной ямой. В рассматриваемом примере такой ямой является область . Граничные координаты ямы определяются из решения уравнения Поскольку в точках x₁, x₂, x₃ потенциальная энергия равна полной энергии, то в этих точках кинетическая энергия, а с ней и скорость частицы равны нулю. Эти точки называют точками поворота, так как в них направление скорости изменяется на противоположное

В точке x₀ потенциальная энергия минимальна, а кинетическая энергия и скорость имеют максимальное значение. Так как сила связана с потенциальной энергией соотношением то между точками x₀ и x₁ (где потенциальная энергия убывает) эта сила будет положительной, а между точками x₀ и x₂ (где потенциальная энергия возрастает) – отрицательной. Поэтому, если частица начинает двигаться от точки x₁, где ее скорость равна нулю, то под действием силы, направленной вправо, она будет постепенно ускоряться и достигнет в точке x₀ максимальной скорости. Двигаясь далее в области от x₀ до x₂ под действием силы, направленной теперь влево, частица будет замедляться, пока ее скорость в точке x₂ не станет равной нулю. После этого она начнет обратное движение от точки x₂ к точке x₀ и далее к точке x₁. Точку x₀ частица каждый раз будет проходить по инерции. Такое движение будет повторяться во времени. Иначе говоря, частица в области будет совершать колебательное движение.

Найдем период такого колебания. Из выражения кинетической энергии находим

Приведем это дифференциальное уравнение к виду

Из этого уравнения находим период колебаний:

(5.13)

Вблизи положения устойчивого равновесия, где потенциальная энергия частицы аппроксимируется параболой область движения определяется условием Отсюда получаем границы движения: Подставляя в формулу (5.13) выражение потенциальной энергии и границы движения, получим

(5.14)

В точке x₀ потенциальная энергия достигает минимума, поэтому точка x₀ является положением устойчивого равновесия частицы. Точка x₀′, где потенциальная энергия частицы имеет максимальное значение, является положением неустойчивого равновесия.

Область и область, расположенная левее области , условию не удовлетворяют, поэтому, имея полную энергию Е, частица проникнуть в эти области не может. Эти области называют потенциальным барьером, непреодолимым для материальной точки с данной полной энергией. Первый барьер имеет конечную ширину и конечную высоту второй барьер является бесконечно высоким. С ростом полной энергии Е ширина первого барьера и его высота уменьшаются; при энергии барьер исчезает.

Движение, при котором материальная точка остается в конечной области пространства, называется финитным, если же она может удаляться сколь угодно далеко (уходить на бесконечность), движение называют инфинитным. Поэтому в рассматриваемом примере движение материальной точки в области является финитным; в области движение материальной точки будет инфинитным, так как она может удалиться как угодно далеко направо от точки x₃ (уйти на бесконечность). Если при этом материальная точка начнет свое движение из точки x₃, где ее скорость равна нулю, то она будет под действием силы, направленной здесь вправо, все время ускоряться; на бесконечности потенциальная энергия обращается в нуль и скорость частицы достигает значения Если же частица будет двигаться из бесконечности к точке x₃, то ее скорость будет постепенно уменьшаться, пока в точке x₃ не обратиться в нуль. В этой точке частица должна будет повернуть обратно и уйти снова на бесконечность. Она не может проникнуть в область , так как этому препятствует потенциальный барьер, лежащий между точками x₂ и x₃. Область финитности зависит, очевидно, от полной энергии частицы. Как видно из рис. 5. она увеличивается с уменьшением энергии и стягивается в одну точку x₀ при

5.6. Движение тел в поле тяготения

Рассмотрим движение двух тел, притягивающихся друг к другу по закону всемирного тяготения. Будем считать, что масса M одного тела много больше массы m другого, а расстояние r между ними велико по сравнению с их размерами. Тогда задача сводится к рассмотрению движения материальной точки массой m в центральном гравитационном поле, создаваемом телом массой M, которое будем считать неподвижным. Такие движения часто называют Кеплеровыми движениями; их совершают, например, планеты и искусственные спутники Земли.

Покажем, прежде всего, что под действием центральной силы гравитации материальная точка будет двигаться по траектории, лежащей в постоянной плоскости, в которой расположен и центр силы. Действительно, поскольку направление действующей на материальную точку силы проходит через центр поля, то равно нулю плечо силы относительно этой точки, а потому равен нулю и момент силы. Согласно уравнению отсюда следует, что т.е. момент импульса точки, взятый относительно силового центра, сохраняется. А поскольку момент импульса перпендикулярен направлению радиус-вектора r, то из постоянства направления следует, что при движении точки ее радиус-вектор должен оставаться все время в одной плоскости – плоскости, перпендикулярной направлению Следовательно, в центральном поле материальные точки движутся по плоским орбитам – орбитам, лежащим в плоскостях, проходящих через центр поля.

Простейшим движением в таком поле является равномерное движение по окружности с центром в центре поля (т.е. в центре тела M). Сила тяготения в этом случае является центростремительной силой, удерживающей точку m на окружности: откуда Если в этой формуле заменить r на радиус Земли R и учесть, что где g – ускорение силы тяжести, то можно найти скорость спутника Земли, движущегося в непосредственной близости от земной поверхности: Эту скорость называют первой космической скоростью. Подставляя сюда числовые значения радиуса Земли и ускорения свободного падения, получим v₁ = 8 км / с.

Полагая найдем Видим, что квадраты периодов обращения пропорциональны кубам радиусов орбит. Применительно к планетам, движущимся вокруг Солнца, это утверждение является третьим законом Кеплера.

Полная энергия материальной точки в гравитационном поле

(5.15)

При движении по окружности и поэтому Следовательно, при движении по окружности полная энергия E материальной точки отрицательна. При этом т.е. кинетическая энергия равна половине потенциальной. На рис. 5. показан профиль потенциальной энергии гравитационного взаимодействия. На этом рисунке видно, что только при отрицательной полной энергии Е < 0 возможно финитное движение точки. Из условия можно найти радиус круговой орбиты: Как видим, радиус круговой орбиты определяется энергией тела.

Рис. 5

Мы рассмотрели простейшее круговое движение материальной точки в центральном поле гравитации. Однако в таком поле движение точки может происходить не только по окружности, но также по эллипсам, гиперболам и параболам. Для всех этих кривых конического сечения один из фокусов (для параболы – единственный) находится в центре сил. Применительно к движению планет в одном из фокусов находится Солнце; в этом заключается первый закон Кеплера. Эллиптическим орбитам, как и круговым, соответствуют отрицательные значения полной энергии точки E < < 0 (так как движение финитно). При этом большая полуось эллипса а определяется той же формулой, что и радиус круговой орбиты: Малая же полуось эллипса b зависит не только от энергии, но и от момента импульса точки: Чем меньше момент L, тем больше (при заданной энергии) вытянут эллипс.

Движение по эллипсу, как и движение по окружности имеет место при E < 0. Движение по окружности происходит, когда центростремительная сила равна силе тяготения , и по эллипсу, когда

Гиперболическим орбитам с уходящими на бесконечность ветвями соответствуют положительные значения полной энергии E > 0. Действительно, чтобы тело вышло из связанного состояния с другим телом (и уйти на бесконечность) его кинетическая энергия должна быть больше по модулю потенциальной энергии, удерживающей тело в связанном состоянии, и тогда полная энергия будет положительной. При движении по гиперболе потенциальная энергия на бесконечности равна нулю, кинетическая энергия равна полной, а скорость тела

При движении по параболе полная энергия Е = 0, в этом случае тело может удаляться как угодно далеко от притягивающего его тела. А поскольку на бесконечности равна нулю потенциальная энергия, а при равенстве нулю полной энергии будет равна нулю и энергия кинетическая, то при движении по параболе скорость тела на бесконечности равна нулю.

Используя формулу полной энергии 5.15), найдем скорость v₂, которую нужно сообщить спутнику, чтобы он двигался по параболической орбите, т.е. ушел из сферы земного притяжения. Полагая в этой формуле v = v₂, r = R и E = 0, получим откуда Эту скорость называют второй космической скоростью. Сравнение с формулой для первой космической скорости показывает, что