1. Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести

Работа силы тяжести по перемещению тела из положения 1 на высоте h₁ над поверхностью Земли в положение 2 на высоте h₂ определяется выражением (4.23). Примем в качестве нулевой точку, находящуюся на поверхности Земли, т.е. положим h₁ = 0. Заменив h₂ на h, найдем работу , которую совершает сила тяжести по перемещению тела из нулевой точки (на поверхности Земли) в точку на высоте h над землей. Взятая с обратным знаком, эта работа в соответствии с формулой (4.28) определит потенциальную энергию тела в поле силы тяжести на высоте h над поверхностью Земли:

Заметим, что при таком выборе положения нулевой точки потенциальная энергия ниже уровня земли (в яме) будет считаться отрицательной.

2. Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух материальных точек

Аналогичным образом, приняв в качестве нулевой точку, находящуюся на бесконечности, т.е. полагая и заменив r₂ на r, будем иметь

Эту энергию можно определить как работу, которая совершается внешними силами при удалении друг от друга точечных масс от расстояния r между ними до бесконечности. Как видим, потенциальная энергия гравитационного взаимодействия отрицательна. Это связано с выбором нулевой точки: так как на бесконечности она равна нулю, то при любых расстояниях она должна быть меньше нуля. Заметим также, что потенциальная энергия гравитационного притяжения определяется только расстоянием между телами, а не положениями каждого тела. Кроме того, она не зависит явно от времени. Эти два обстоятельства связаны со свойствами симметрии пространства и времени.

3. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины

Принимая за нулевой уровень значение потенциальной энергии недеформированной пружины, т.е. полагая, что x₁ = 0, а x₂ = x, как и в двух предыдущих случаях с помощью формулы (2.11) для потенциальной энергии упруго деформированной пружины получим

Потенциальная энергия – это энергия тела в поле консервативных сил, определяет запас энергии тела в данной точке поля. Она имеет смысл энергии взаимодействия тела с объектами, создающими данное силовое воздействие на тело (силовое поле). Потенциальная энергия, в отличие от энергии кинетической, характеризует, таким образом, не движение тела, а его взаимодействие с окружающими его телами. Она связана с взаимодействием тел или частей одного тела между собой или с внешним полем. Она зависит от расположения тела относительно этих тел – источников поля. Поэтому потенциальная энергия тела в поле силы тяжести есть энергия гравитационного взаимодействия тела с Землей. Потенциальная энергия точечной массы m₁ в поле точечной массы m₂ есть энергия гравитационного притяжения этих точечных масс. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины есть энергия взаимного расположения частей пружины.

4.6. Механическое равновесие. Виды равновесия

Говорят, что материальная точка находится в состоянии механического равновесия, если ее положение не изменяется с течением времени, т.е. ее координаты x, y, z = const. Но тогда все компоненты скорости и ускорения, а значит, и компоненты силы, действующей на точку, будут равны нулю ( и т.д.).

Рассмотрим частицу, находящуюся в поле консервативных сил. Потенциальная энергия частицы будет функцией ее координат, т.е. U = U(x, y, z). Поскольку проекции вектора силы на координатные оси определяются как частные производные от потенциальной энергии по координатам, то условия равновесия требуют, чтобы в положении равновесия (в точке (x₀, y₀, z₀)) эти производные были бы равны нулю: F_x = –U′_x(x₀, y₀, z₀) = 0 и т.д. Отсюда следует, что для равновесия необходимо, чтобы потенциальная энергия в окрестности точки (x₀, y₀, z₀) была стационарной, т.е. не изменялась бы при бесконечно малом изменении координат. В частности, частица в точке (x₀, y₀, z₀) будет находиться в равновесии, если в этой точке ее потенциальная энергия экстремальна, т.е. максимальна или минимальна.

Существуют три вида механического равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Равновесие частицы в точке (x₀, y₀, z₀) называется устойчивым, если при небольшом смещении ее из положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть частицу в исходное положение¹. Равновесие называется неустойчивым, если при указанном малом смещении возникают силы, стремящиеся еще дальше увести частицу из положения равновесия. Наконец, равновесие частицы называется безразличным, если при любом ее смещении из положения равновесия ни возвращающих в это положение, ни уводящих из него сил не возникает. Покажем, что равновесие в некоторой точке будет устойчивым, если потенциальная энергия в этой точке будет иметь минимум, неустойчивым – если максимум, и безразличным, если потенциальная энергия не будет изменяться при смещении частицы из указанной точки. Для простоты будем считать, что частица может совершать одномерное движение, например, вдоль оси X. В этом случае ее потенциальная энергия во внешнем поле будет функцией только одной переменной (например, x): U = U(x). На рис. 4.6 показан пример профиля одномерной потенциальной энергии U(x).

Рассмотрим точку x₀. В этой точке потенциальная энергия частицы имеет минимальное значение. В точке (x₀) действующая на частицу сила F_x = –U′_x(x₀) = 0. Слева от этой точки, например, в точке (x₁), в окрестности которой потенциальная энергия убывает, U′_x(x₁) < 0, действующая на частицу сила F_x = – U′_x(x₁) > 0, т.е. направлена в положительном направлении оси X (x > 0) в сторону точки x₀. Справа от точки (x₀), например, в точке x₂, в окрестности которой потенциальная энергия возрастает, действующая на частицу сила F_x = –U′_x(x₂) < 0, т.е. направлена в отрицательном направлении оси X (x < 0) – опять-таки в сторону точки x₀. Таким образом, если в точке x₀ потенциальная энергия частицы имеет минимальное значение, то в этой точке действующая на частицу сила равна нулю, но при смещении частицы из этой точки в любом направлении возникает сила, стремящаяся вернуть частицу в исходное положение. Тем самым мы показали, что точка, где потенциальная энергия частицы имеет минимальное значение, является точкой устойчивого равновесия.

Получим теперь выражение силы, возникающей при отклонении точки от положения устойчивого равновесия. Разложим в окрестности точки минимума x₀ потенциальную энергию частицы в ряд Тейлора:

Здесь – смещение точки от положения равновесия. Так как точка x₀ есть точка минимума, то второй член в этом разложении обращается в нуль. Если смещение точки от положения равновесия мало ( ), то четвертым и последующими членами ряда можно пренебречь. Обозначим также положительную величину через k. Тогда получим

Если перенести начало координат в точку т.е. если положить то получим

В этом случае x – это отклонение точки от положения равновесия.

Таким образом, потенциальная яма, в которой находится материальная точка вблизи положения устойчивого равновесия, представляет собой параболу.

Продифференцировав функцию U по x, найдем величину силы, действующей на материальную точку при отклонении ее от положения устойчивого равновесия: Как видим, сила F_x и отклонение x имеют разные знаки. Следовательно, эта сила направлена противоположно направлению отклонения материальной точки от положения устойчивого равновесия, т.е. действует в направлении уменьшения отклонения. Поэтому она является возвращающей силой. Кроме того, она пропорциональна величине отклонения x и имеет вид упругой силы, определяемой законом Гука, поэтому ее называют квазиупругой силой, или линейной возвращающей силой. Ниже мы увидим, что такие силы вызывают гармонические колебания.

Рассмотрим теперь точку x′₀. В этой точке потенциальная энергия имеет максимальное значение. И в этой точке действующая на частицу сила равна нулю. Но левее точки x₀, где потенциальная энергия возрастает, она направлена в сторону отрицательных значений оси X (x < 0), а правее, где, наоборот, потенциальная энергия убывает, – в сторону положительных значений оси X (x > 0). В обоих случаях сила, действующая на частицу, направлена в сторону, противоположную от точки x′₀. Поэтому при смещении частицы от положения равновесия в любом направлении возникают силы, которые будут направлены так, чтобы еще дальше увести частицу от этого положения. Это и имеет место при неустойчивом равновесии, поэтому состояние равновесия с максимальным значением потенциальной энергии является состоянием неустойчивого равновесия.

Если в окрестности какой-либо точки потенциальная энергия всюду одинакова (U = const), то, как в этой точке, так и в ее окрестности, действующая на частицу сила будет равна нулю. Такое равновесие, при котором в любой точке вблизи положения равновесия действующая на частицу сила равна нулю, является безразличным.

Все сказанное справедливо не только для одной материальной точки (частицы), но и для любой механической системы.

1 В математике доказывается, что градиент любой функции перпендикулярен поверхности равного уровня этой функции.

1 Термин «калибровка» вошел в физику из жаргона железнодорожников, употребляемый в значении перехода с узкой колеи на широкую. Под калибровкой, по аналогии с железнодорожной терминологией, первоначально понималось именно изменение уровня или масштаба.

1 Такие силы называются возвращающими силами.