4.1.3. Кинетическая энергия

Кроме рассмотренных двух векторных динамических характеристик движения материальной точки – импульса и момента импульса, – существует также третья важная скалярная динамическая характеристика, называемая кинетической энергией материальной точки. Чтобы получить эту величину, умножим обе части уравнения движения (4.1) скалярно на вектор элементарного перемещения точки dl = vdt, совершенного материальной точкой за элементарный промежуток времени dt под действием силы F. Будем иметь

(4.9)

В нерелятивистском случае, когда скорость материальной точки v << c, импульс p = mv. Учтя, что и а также что придем к равенству

(4.10)

Отсюда видно, что под действием силы F на элементарном перемещении dl движение материальной точки изменилось так, что произошло элементарное приращение скалярной величины

(4.11)

Эта величина может быть принята в качестве динамической характеристики движения материальной точки; ее и называют кинетической энергией материальной точки. Кинетическая энергия характеризует любые движения материальной точки, независимо от их направления.

Кинетическую энергию можно выразить и через импульс материальной точки:

Скалярная величина

называется элементарной работой силы F на элементарном перемещении dl. Из (4.10) следует, что элементарная работа определяет элементарное приращение кинетической энергии, обусловленное действием силы на движущуюся точку.

Проинтегрировав обе части равенства (4.10) вдоль траектории движения материальной точки из точки 1 в точку 2, получим

или

(4.12)

В этих равенствах v₁ и v₂ – скорости материальной точки в пространственных точках 1 и 2 соответственно, K₁ и K₂ – кинетические энергии материальной точки в этих точках,

(4.13)

– работа силы на перемещении из точки 1 в точку 2. Отметим, что здесь и выше элементарный вектор перемещения обозначен через dl, чтобы подчеркнуть, что интеграл (4.13) определяется исключительно кривой, вдоль которой проводится интегрирование, и силами на этой кривой. Вектор dl по модулю равен элементу длины кривой dl, а по направлению совпадает с касательной к этому элементу в его центре.

Соотношение (4.13) выражает собой теорему об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии материальной точки при перемещении ее из точки 1 в точку 2 равно работе силы на этом перемещении.

4.2. Релятивистская энергия

Если скорость материальной точки сравнима со скоростью света в вакууме, то вместо классического выражения импульса следует использовать его релятивистское выражение (4.4). В этом случае равенство (4.9) можно привести к виду

(4.14)

Теперь, как видим, под действием силы F на перемещении dl произошло элементарное приращение величины

(4.15)

Поэтому эту величину можно принять в качестве скалярной динамической характеристики движения материальной точки в релятивистском случае. Эту величину называют полной релятивистской энергией материальной точки.

Определенная таким образом величина полной релятивистской энергии не имеет аналога в классической механике, поэтому в пределе при она не переходит ни в какую классическую величину.

Проинтегрировав обе части равенства (4.14) между точками 1 и 2 траектории, придем к равенству

выражающему собой теорему об изменении полной релятивистской энергии материальной точки.

При v = 0 получим так называемую энергию покоя материальной точки:

(4.16)

Этой энергией обладает, как видим, и неподвижная материальная точка Она, очевидно, связана с самим существованием материальной точки (т.е. с наличием у частицы массы) и также не имеет аналога в классической механике. Такая энергия требуется для создания материального объекта и такая же энергия выделяется при его исчезновении. Часть этой энергии выделяется и при делении объекта на составные части (например, при делении ядер атомов). Вообще, любое изменение массы объекта на сопровождается изменением энергии покоя на и наоборот. Это утверждение выражает собой закон взаимосвязи массы и энергии. Как и всякая энергия, энергия покоя может превращаться в другие виды энергии.

Если из полной релятивистской энергии вычесть энергию покоя, получим, очевидно, величину, связанную с движением материальной точки. Эту величину называют релятивистской кинетической энергией. Таким образом, релятивистская кинетическая энергия

(4.17)

При v = 0 величина K, как и должно быть, обращается в нуль. Классическим пределом (при этой величины является классическое выражение кинетической энергии. Действительно, используя приближенную формулу при x << 1, первый член в выражении (4.17) в скобках преобразуем к виду

Подставив это выражение в соотношение (4.16), придем к классической формуле (4.11) кинетической энергии. Таким образом, формула (4.17) представляет собой общее выражение кинетической энергии материальной точки, справедливое и в релятивистском случае.

Выразив из (4.4) скорость v через импульс p и подставив в (4.15), получим связь полной релятивистской энергии и импульса:

(4.18)

откуда

(4.19)

В правой части(4.19) стоит постоянная величина m²c², имеющая одно и то же значение во всех системах отсчета. Поэтому и левая часть равенства (4.19) не зависит от выбора системы отсчета, т.е. является инвариантной величиной. Взятые раздельно друг от друга, энергия E и импульс p относительны, т.е. различны в разных системах отсчета. Взятые же совместно в виде комбинации они образуют абсолютную характеристику состояния материальной точки, инвариантную относительно преобразований Лоренца. Из инвариантности этой величины следует релятивистская взаимосвязь энергии и импульса – при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, энергия и импульс частицы изменяются так, что комбинация остается неизменной.

Формулу (4.19) можно записать также в виде

Разделив друг на друга левые и правые части равенств (4.4) и (4.15), получим еще одну релятивистскую формулу:

И наконец, подставив в соотношение (4.19) , получим формулу связывающую импульс и кинетическую энергию частицы:

или