4.1.2. Момент импульса

Умножим радиус-вектор материальной точки r, проведенный из какой-либо точки O, векторно на уравнение движения (4.1):

Преобразуем левую часть этого равенства:

где учтено, что а равно нулю как векторное произведение однонаправленных векторов. Тогда получим

(4.5)

Вектор называется моментом силы относительно точки (О) или полюса (О).

Записав соотношение (4.5) в виде

(4.6)

где мы видим, что при действии на материальную точ-

Рис. 4.1

ку момента силы M в течение элементарного промежутка времени dt произошло элементарное приращение векторной величины, равной Следовательно, эта величина может быть использована в качестве динамической характеристики движения точки; эту векторную величину называют моментом импульса материальной точки относительно точки (О) или полюса (О). Его часто называют также угловым моментом. Как и импульс, момент импульса материальной точки является векторной динамической характеристикой.

Направление вектора L определяется правилом векторного произведения: вектор L перпендикулярен плоскости, содержащей

векторы r и p, так, что если смотреть навстречу этому вектору, будем видеть поворот от вектора r к вектору p на наименьший угол против часовой стрелки (рис. 4.1). Векторы L, r и p образуют, таким образом, правую тройку векторов. Удобно связывать направление векторного произведения с поворотом правого винта. Если расположить головку винта в плоскости сомножителей r и p и вращать ее от первого сомножителя (r) ко второму (p), то винт будет ввинчиваться в направлении вектора произведения L = = r⤫p (правило правого винта). Подобным же образом определяется и направление вектора момента силы относительно точки.

Используя введенные обозначения, соотношение (4.5) можно переписать как

(4.7)

или = M. Уравнение (4.7) называется уравнением моментов. Оно устанавливает связь между изменением момента импульса материальной точки и моментом силы, действующим на эту точку, и утверждает, что скорость изменения момента импульса относительно точки равна моменту силы относительно той же точки и направлена вдоль этого момента.

Вектор называется элементарным импульсом момента силы. Следовательно, можно утверждать, что элементарное приращение момента импульса материальной точки относительно полюса равно элементарному импульсу момента силы, действующей на точку.

Проинтегрировав обе части равенства (4.6) справа по времени от t₁ до t₂, а слева – по вектору L в соответствующих пределах от L₁ до L₂, будем иметь

(4.8)

Это равенство выражает собой теорему об изменении момента импульса относительно точки. Согласно этой теореме изменение момента импульса материальной точки относительно полюса за промежуток времени от t₁ до t₂ равно импульсу момента силы относительно полюса за указанный промежуток времени.

Проекция момента импульса относительно точки на ось, проходящую через эту точку, называется моментом импульса относительно оси. Аналогичным образом определяется и момент силы относительно оси. Момент импульса относительно координатных осей можно найти, учтя, что

В частности, момент импульса относительно оси Z определится как

Введем векторы и перпендикулярные оси Z и запишем в векторном виде: Модуль этого вектора где = – плечо импульса относительно оси Z (расстояние между линией вектора импульса и осью Z) . Аналогично находится и проекция момента силы на ось Z: где – плечо силы (расстояние межу линией действия силы и осью Z).

Уравнение моментов и теорема об изменении момента импульса остаются справедливыми и для их проекций на любую ось. В частности, для моментов относительно оси Z