4.4. Силы консервативные и неконсервативные

Интеграл в правой части выражения (4.21) является криволинейным интегралом. Вычисление таких интегралов производится по всем точкам кривой, и поэтому его результат зависит от вида этой кривой. Следовательно, и работа, определяемая интегралом (4.21), в общем случае, как уже отмечалось, зависит от вида траектории, по которой перемещается точка приложения силы или, как говорят, от формы пути. Существуют, однако, силы, работа которых не зависит ни от формы пути, ни от закона движения точки по траектории; она определяется только начальным и конечным положением движущейся точки. Такие силы называются консервативными или потенциальными силами. Они зависят только от конфигурации системы материальных точек (т.е. от их взаимного расположения). К ним относятся, например, однородные силы поля, в частности поля силы тяжести, а также сила тяготения, сила кулоновского взаимодействия двух точечных электрических зарядов, упругая сила и др. Последние три силы являются центральными силами. Сила называется центральной, если она направлена к одной и той же точке (или от одной и той же точки), называемой центром силы или силовым центром, и зависит только от расстояния до этого центра. Покажем, что перечисленные выше силы являются консервативными, т.е. что работа этих сил не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положением частицы. С этой целью найдем работу этих сил

1. Работа силы тяжести

Введем систему координат, направив ось Z вертикально вверх, и пусть материальная точка М перемещается в однородном поле силы тяжести из точки 1 с координатой z = h₁, в точку 2 с z-координатой h₂ по кривой 12 (рис. 4.2). Поскольку сила тяжести направлена вертикально вниз, то в указанной системе координат F_x = F_y = 0, F_z = – mg. Тогда а работа A₁₂, совершаемая силой тяжести, при переходе точки из положения 1 в положение 2 определится как

(4.23)

Рис. 4.2

Видим, что работа силы тяжести не зависят от формы пути перехода из точки 1 в точку 2 , а определяется только начальным (1) и конечным (2) положением тела.

2. Работа силы гравитации

В качестве примера центральной силы рассмотрим силу гравитационного притяжения точечных масс. Пусть имеем две взаимо-

Рис. 4.3

действующие материальные точки М₁ и М₂ с массами m₁ и m₂. Будем считать точку М₂ неподвижной, а точку М₁ движущейся в силовом поле, создаваемом точкой М₂. Совместим с точкой М₂ начало координат О. тогда положение точки М₁ будет определяться радиус-вектором r, проведенным из точки О. Поскольку сила, действующая на точку М₁ направлена противоположно направлению радиус-вектора r (к точке М₂ ), то с учетом рис. 2. получим

Но – проекция вектора dl на направление радиус-вектора r, равная, как видно из рис.4.3, приращению модуля радиус-вектора, т.е. dr. С учетом этого будем иметь

=

Работа на участке между точками 1 и 2 на расстояниях r₁ и r₂ от силового центра

(4.24)

Как видим, работа определяется только расстояниями r₁ и r₂ частицы М₁ до силового центра М₂, т.е. начальным и конечным положением частицы М₁. Из вывода этой формулы видно также, что работа A₁₂ не зависит и от пути перехода частицы М₁ из точки 1 в точку 2.