4.5. Потенциальная энергия

Так как работа консервативных сил не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечным положением тела, то ясно, что она является величиной, имеющей глубокий физический смысл. С ее помощью можно определить важную характеристику частицы в поле консервативных сил, называемую потенциальной энергией. Если для частицы в силовом поле можно ввести понятие потенциальной энергии, поле называется потенциальным или консервативным. Условие (4.27) является необходимым и достаточным условием потенциальности силового поля.

Возьмем в поле консервативных сил две какие-либо точки 1 и 2 и некоторую произвольную точку О (рис. 4.5), которую будем

Рис. 4.5

называть нулевой точкой, и найдем работу A₁₂ сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку 2. Рассмотрим два пути перехода частицы из точки 1 в точку 2: непосредственно из точки 1 в точку 2 и с заходом в точку О. В первом случае эта работа равна а во втором она равна Так как работа не зависит от формы пути, то имеет место равенство Перепишем его в виде Определим потенциальную энергию частицы в произвольной точке Р как взятую с обратным знаком работу, совершаемую консервативными силами по перемещению частицы из нулевой точки О в данную точку Р. Обозначив эту величину U(P), получим

. (4.28)

С учетом этого для указанной выше работы консервативных сил при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 будем иметь

A₁₂ = = – ∆U (4.29)

где U₁ и U₂ – значения потенциальной энергии частицы в точках r₁ и r₂ поля. Следовательно, работа сил поля при перемещении частицы из одной точки в другую равна убыли потенциальной энергии частицы при таком переходе. Если совершается работа против сил поля, то A^′₁₂ = – A₁₂ = = ∆U. Как видим, работа, совершаемая внешними силами по преодолению сил поля, приводит к увеличению потенциальной энергии частицы.

Соотношение (429) выражает собой теорему об изменении потенциальной энергии: если на материальную точку действуют только консервативные силы, то изменение потенциальной энергии материальной точки при перемещении ее из точки 1 в точку 2 равно работе этих консервативных сил при указанном перемещении.

Из равенства (4.29) получаем

(4.30)

Из этого соотношения следует, что

F∙dl = – dU. (4.31)

Таким образом, элементарная работа в потенциальном силовом поле представляет собой полный дифференциал взятой со знаком минус потенциальной энергии частицы U(x, y, z). На этом частном примере мы показали, что если криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то его подынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции. Иногда соотношении (4.31) принимают за определение потенциальной энергии.

Запишем соотношение (4.31) в виде

Из этого соотношения находим

(4.32)

Эти формулы связывают компоненты силы с потенциальной энергией. Для вектора силы имеем

F = F_xi + F_y j + F_z k = .

Выражение в скобках в правой части этого равенства представляет собой градиент функции U. Используя векторный оператор набла, определяемый как формулу для вектора силы запишем в виде

F = (4.33)

(читается: F равно минус градиент U). Отсюда видно, что вектор силы направлен в сторону наибыстрейшего убывания потенциальной энергии. Часто равенство (4.33) записывают в виде производной U по вектору r:

Геометрическое место точек, в которых потенциальная энергия имеет одно и то же значение, называется поверхностью равного уровня или просто поверхностью уровня. Уравнение поверхности уровня имеет вид U(x, y, z) = C, где C – постоянная. Задавая различные значения постоянной С, получим семейство поверхностей уровня. Если перемещаться по поверхности уровня, совершаемая работа сил поля будет рана нулю. А это имеет место, если сила перпендикулярна перемещению. Следовательно, сила F перпендикулярна поверхностям уровня¹.

Наряду с поверхностями уровня в силовом поле вводят понятие силовой линии, т.е. такой линии, в каждой точке которой сила направлена по касательной. Из самого своего определения следует, что силовые линии перпендикулярны поверхностям равного уровня.

Соотношения (4.32) иногда используют для определения потенциального силового поля. Силовое поле называют потенциальным, если имеется функция U, зависящая от координат точки, такая что проекции консервативной силы на координатные оси равны со знаком минус частным производным этой функции по соответствующим координатам.

В соответствии с (4.29) A_OP = U(O) – U(P), откуда

U(P) = – A_OP + U(O), (4.34)

где U(O) – значение потенциальной энергии в нулевой точке. Постоянная U(O) одна и та же для всех точек поля, зависящая от того какая точка поля выбрана за нулевую. В этом смысле говорят, что потенциальная энергия определяется неоднозначно, а с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Для придания потенциальной энергии однозначности ее значение в нулевой точке О полагают равным нулю: U(O) = 0. Тогда потенциальная энергия в других точках будет отсчитываться от ее значения в нулевой точке и таким образом получит определенное значение. По этой причине точку О и называют нулевой точкой. Ее называют также точкой отсчета (потенциальной энергии). Сама процедура придания потенциальной энергии однозначности называется калибровкой потенциальной энергии¹.

В качестве примеров расчета потенциальной энергии найдем потенциальную энергию тела в поле силы тяжести, гравитационного притяжения двух точечных масс и упруго деформированной пружины. Будем исходить из соотношений (4.28) и (4.23) – (4.25).