4. 3. Работа и мощность силы

Из теоремы об изменении кинетической энергии следует, что для изменения кинетической энергии, а значит, и скорости тела необходимо не только действие на тело силы, но и движение тела в направлении ее действия на некоторое расстояние. Если точка приложения силы не перемещается, то, сколько бы времени ни действовала сила, никакого приращения кинетической энергии не произойдет. Поэтому возникает необходимость ввести характеристику такого действия силы, которое связано с перемещением тел. В механике в качестве такой характеристики принимается величина тем большая, чем больше составляющая силы вдоль направления перемещения и чем на большее расстояние перемещается точка ее приложения. Этой физической величиной, и является введенная выше работа силы.

Работа силы на элементарном перемещении определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор элементарного перемещения. Согласно определению скалярного произведения векторов

(4.20)

где – элементарный путь, пройденный точкой приложения силы, α – угол между направлениями силы F и перемещения dl, F_s – проекция силы на направление перемещения. Как видно из (4.20), работа есть величина алгебраическая, ее знак зависит от угла Если т.е. если сила действует в направлении перемещения, то работа, совершаемая такой силой, положительна, В этом случае – кинетическая энергия тела увеличивается. В случае, когда внешние силы совершают работу по перемещению тела. Следовательно, работа, совершаемая над телом внешними силами, приводит к увеличению его кинетической энергии. При этом происходит переход кинетической энергии от тела, со стороны которого действует сила (источника силы), к телу, на которое действует сила. Если т.е. если сила действует противоположно направлению перемещения, то В этом случае само тело совершает работу по преодолению внешних сил. Кинетическая энергия тела при этом уменьшается, она расходуется на преодоление внешних сил, т.е. переходит к телу, со стороны которого действует сила. Тело совершает работу за счет убыли своей кинетической энергии. Силы, работа которых положительна, называются движущими силами, а силы, работа которых отрицательна – силами сопротивления.

Как видим, работа силы есть мера изменения кинетической энергии тела. Ниже будет показано, что работа силы является мерой изменения также потенциальной и полной механической энергии. Ее можно определить и как меру действия силы в процессе превращения механического движения в другие формы движения материи.

Работа на конечном перемещении между точками 1 и 2 определяется криволинейным интегралом

(4.21)

взятым по кривой (траектории), по которой перемещается точка приложения силы между пространственными точками 1 и 2. Интеграл (4.21) определяется исключительно только кривой L, вдоль которой производится интегрирование, и силами в точках на этой кривой и не зависит от того, где находится точка, относительно которой отсчитывается ее радиус-вектор. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, и введено новое обозначение вектора элементарного перемещения dl. Отметим также, что поскольку интеграл (4.21) берется по некоторой кривой, его называют криволинейным интегралом.

Как уже отмечалось, движущаяся материальная точка характеризуется в каждый момент времени координатами и проекциями скорости (или импульса). Если эти механические параметры заданы, то говорят, что определено механическое состояние точки. Физические величины, зависящие от механических параметров точки (или системы) называются функциями состояния. Такими функциями состояния являются, например, сила, импульс, момент импульса, кинетическая энергия и др.

Если механические параметры, изменяются, говорят, что изменяется состояние точки. Любое изменение состояния называется процессом. Изменение координат точки означает перемещение точки, изменение ее скорости (или импульса) происходит под действием силы. Следовательно, при переходе точки из одного состояния в другое совершается работа. Поскольку работа в соответствии с (4.21) получается интегрированием по всем пройденным точкам траектории (по различным состояниям), то в общем случае она зависит от того, как меняется состояние. Работа, таким образом, характеризует процесс или, как говорят, является функцией процесса. Можно сказать, что любое изменение состояния материальной точки или системы сопровождается работой, и наоборот, совершение работы приводит к изменению состояния токи или системы. Следовательно, нельзя говорить о запасе работы в данном состоянии. Кинетическая же энергия, будучи функцией от скорости, является функцией состояния, а значит, можно говорить о запасе кинетической энергии в данном состоянии.

Если сила одинакова во всех точках пути (не зависит от координат), то из формулы (4.21) получаем

где s – путь, пройденный точкой приложения силы между положениями 1 и 2.

Формулу работы можно записать также в виде

Отсюда видно, что геометрически работа представляет собой площадь, ограниченную графиком силы осью s и прямыми s = s₁ и s = s₂.

Поскольку координаты вектора F есть F_x, F_y и F_z, а вектора dl – соответственно dx, dy и dz, то а

(4.22)

Формула (4.22) называется аналитическим выражением работы.

Интегрируя обе части полученного равенства вдоль траектории движения между произвольными точками 1 и 2, получим закон изменения кинетической энергии на конечном участке пути

или

Работа, совершаемая за единицу времени, называется мощностью силы. Эта величина обозначается Р и по определению равна

Следовательно, мощность, развиваемая силой, равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка перемещения силы.