Теорема Если все запасы и все потребности целые числа, то оптимальный план перевозок тоже целочисленный. Доказательство

Действительно, вспомните, как строился исходный опорный план методом северо-западного угла. При этом применялась только одна арифметическая операция  операция вычитания. А при вычитании целых чисел всегда получаются только целые числа. Поэтому исходный опорный план целочисленный.

При переходе к новому опорному плану применялись три операции: нахождение минимума из нескольких чисел (при определении  ), вычитание и сложение. В применении к целым числам эти операции всегда дают целые числа. Поэтому на любой итерации получающийся план является целочисленным, в том числе и оптимальный план. Теорема доказана.

4.6. Снятие вырожденности

4.6.1. Эпсилон-прием

К сожалению, при решении транспортных задач, особенно тогда, когда и  целые числа, часто приходится сталкиваться с вырожденными опорными планами, то есть с планами, число положительных компонент которых меньше . Это бывает тогда, когда, как уже указывалось выше, какое-то подмножество складов удовлетворяет потребности какого-то подмножества пунктов потребления.

Для борьбы с этим неприятным явлением существует очень простой прием, который, в качестве профилактики, рекомендуется применять всегда, когда запасы продукта на складах и потребности пунктов потребления  целые числа.

Он состоит в следующем: пусть запасы продукта есть ,

а

потребности пунктов потребления есть

. Рассмотрим новую

задачу с теми же самыми ,

для которой

с некоторым  >0. Можно взять  конкретным, но достаточно малым числом, а можно просто оставить в алгебраическом виде как букву. Затем транспортная задача решается обычным путем, а в ответе просто полагается  =0, (или полученный результат округляется, если  было взято конкретным малым числом).

Проиллюстрируем этот прием на конкретном примере.

Пример

Пусть матрица стоимостей перевозок имеет вид:

1	2	3	4
4	3	2	1
1	2	2	1

Запасы складов равны .		Потребности пунктов

потребления равны .

 

Заметьте, что в данном случае , или , то есть имеются подгруппы складов, полностью удовлетворяющие потребности некоторых пунктов потребления.

Чтобы снять намечающееся вырождение, будем решать задачу с теми же

самыми

, но с

Дальнейшее дается с минимальными пояснениями.

Построение исходного опорного плана.

Используя метод северо-западного угла, получим следующий исходный опорный план

4	2+
	4-	4+2
		4-2	6+3

Для этого плана значение функции потерь равно