- •Линейное программирование
- •Часть I Содержание:
- •1. Основные понятия
- •1.1. Примеры моделей, приводящих к задачам линейного программирования
- •Задача о диете
- •1.2. Стандартная и каноническая формы задачи линейного программирования
- •Первая стандартная форма задачи линейного программирования имеет вид
- •Канонической формой задачи линейного программирования называется задача вида
- •5. Ограничения на неотрицательность переменных.
- •1.3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •2. Симплекс-метод
- •2.1. Выпуклые множества и многогранники
- •Доказательство
- •Доказательство.
- •Доказательство
- •2.2. Вершины выпуклого многогранника
- •Определение. Вершиной или крайней точкой выпуклого многогранника называется любая его точка, которая не является внутренней точкой никакого отрезка, целиком принадлежащего этому многограннику.
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Доказательство
- •2.3. Переход от вершины к вершине
- •2.4. Переход к новому базису
- •2.5. Отыскание оптимального плана
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •2.6. Алгоритм симплекс-метода
- •Этап 1 Просматривается дополнительная строка снизу, где записаны разности .
- •Первая итерация
- •И он достигается на векторе , то этот вектор подлежит выводу из базиса и соответствующая ему строка и будет направляющей строкой.
- •Вторая итерация
- •2.7. Метод искусственного базиса
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Первая итерация Так как из базиса выводится вектор , то в получающейся симплекс-таблице соответствующий столбец сразу удаляется.
- •Вторая итерация
- •Третья итерация Мы вернулись к исходной задаче и продолжаем решать ее по стандартной схеме.
- •3. Двойственные задачи
- •3.1. Постановка двойственных задач Симметричные двойственные задачи
- •Несимметричная двойственная задача
- •Переменные называется по-разному. Часто их называют учетными, неявными или фиктивными ценами.
- •3.2. Свойства двойственных задач
- •Доказательство.
- •1. Симметричная пара
- •2. Несимметричная пара Доказательство в этом случае почти дословно повторяет предыдущее.
- •Теорема 3. ( в формулировке для несимметричной двойственной задачи)
- •Доказательство.
- •Теорема 3. (в формулировке для симметричной двойственной задачи).
- •3.3. Двойственный симплекс-метод
- •4. Транспортная задача
- •4.1. Постановка задачи
- •Приведение открытой транспортной задачи к сбалансированной
- •4.2. Простейшие свойства транспортной задачи
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Доказательство
- •4.3. Методы определения первоначального опорного плана
- •4.3.1. Построение исходного опорного плана (метод северо-западного угла)
- •Пример 1
- •Пример 2
- •4.3.2. Метод минимального (максимального) элемента
- •Пример № 2
- •Решение:
- •4.3.3. Метод аппроксимации Фогеля
- •Решение:
- •4.3.4. Метод двойного предпочтения
- •4.4. Методы проверки опорного плана на оптимальность
- •4.4.1. Потенциалы. Критерий оптимальности плана
- •4.4.2. Дельта-метод
- •4.5. Алгоритм улучшения плана
- •Вторая итерация Этап 1
- •Третья итерация Этап 1
- •Теорема Если все запасы и все потребности целые числа, то оптимальный план перевозок тоже целочисленный. Доказательство
- •4.6. Снятие вырожденности
- •4.6.1. Эпсилон-прием
- •Построение исходного опорного плана.
- •Первая итерация
- •Вторая итерация Этап 1
- •Третья итерация Этап 1
Решение:
10 |
20 |
10 |
|
|
|
|
2 7 |
3 0 |
4 8 |
15 |
1 |
1 |
1 |
11 0 |
6 1 |
10 0 |
1 |
4 |
4 |
- |
8 3 |
9 0 |
3 0 |
3 |
5 |
- |
- |
4 0 |
1 19 |
2 2 |
21 |
1 |
1 |
- |
2 |
2 |
1 |
||||
2 |
2 |
2 |
||||
2 |
2 |
2 |
||||
2 |
- |
2 |
||||
- |
- |
2 |
||||
- |
- |
- |
||||
7 |
0 |
8 |
0 |
1 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
19 |
2 |
4.3.4. Метод двойного предпочтения
В случае больших размерностей, эффективен способ определения первоначального опорного плана с помощью метода двойного предпочтения.
В каждом столбце отмечают знаком клетку с наименьшей стоимостью. Затем тоже проделывают в каждой строке. В результате некоторые клетки имеют двойную отметку. В них находится минимальная стоимость как по столбцу, так и по строке. В эти клетки помещают максимально возможные объемы перевозок, каждый раз исключая и рассмотрения соответствующие столбцы или строки. Затем распределяют перевозки по клеткам с единичной отметкой. Остальные перевозки распределяют по наименьшей стоимости.
Пример
10 |
20 |
10 |
|
2** |
3 |
4 |
15 |
11 |
6* |
10 |
1 |
8 |
9 |
3* |
3 |
4 |
1* |
2* |
21 |
Заполняем клетки с двойным предпочтением :
10
20
10
10
15
0
1
0
3
0
21
Заполняем клетки с простым предпочтением, начиная с наименьшей стоимости.
10 |
20 |
10 |
|
10 |
0 |
|
15 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
3 |
3 |
0 |
20 |
1 |
21 |
3. Заполняем оставшиеся пустыми клетки.
10 |
20 |
10 |
|
10 |
0 |
5 |
15 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
3 |
3 |
0 |
20 |
1 |
21 |
Это опорный план составленный методом двойного предпочтения