24.Векторное произведение векторов. Пример в динам. Метеорологии

Если для определение физ величины. Кроме численного значения, необходимо указать направление в пространстве, то такие величины называют векторами.

Векторным произведением АхВ двух векторов называет­ся вектор С = А*В (рис. ), направленный перпендикуляр­но плоскости векторов-сомножителей в ту сторону, откуда поворот от первого сомножителя ко второму на меньший угол против хода часовой стрелки и равный по величине площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. |C|=|A*B|=ABsin(A,B)

Векторное произведение векторов определяется следующими условиями:

1). Модуль вектора |С| равен ABsin(A,B), где (A,B) - угол между векторами A и B;

2). Вектор |C| перпендикулярен к каждому из векторов A и B;

3). Направление вектора |С|  соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы A, B и |С| приведены к общему началу, то вектор |С| должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору A), а указательный - по второму (то есть по вектору B).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно: .

Необходимое и достаточное условие параллельности векторов имеет вид: А*В=0.

Если система координатных осей правая и векторы А и В заданы в этой системе своими координатами:

,  ,

то векторное произведение вектора А на вектор В определяется формулой

И ли С=А*В=(A₁i₁+A₂i₂+A₃i₃)*(B₁i₁+B₂i₂+B₃i₃)=i₁(A₂B₃-A₃B₂)+i₂(A₃B₁-A₁B₃)+i₃(A₁B₂-A₂B₁)

Пример в динамич метеорологии:

Такие векторы, направление которых устанавливается соглашением и которые изменяют свое направление при замене правой системы координат на левую, называются аксиальными, например момент силы и угловая скорость. Векторы, направление которых определяется физическим смыслом и которые не меняют своего направления при изменении системы координат, называют полярными, например сила и скорость.

24. Понятие тензора. Пример в динам. Метеорологии

Те́нзор (от лат. tensus, «напряженный») — объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т.п.

Скаляр или тензор нулевого ранга — физическая величина, полностью определяемая в любой координатной системе одним числом (или функцией), которое не меняет­ся при изменении пространственной системы координат. Скаляр имеет одну компоненту.

Таким образом, если ф — значе­ние скаляра в одной системе коор­динат, а ф' — в другой, то ф'=ф.

Векторы — величины более высокого ранга по сравнению со скалярами; они могут быть названы тензорами 1-го ранга. Три числа или функции, определяющие вектор, меняются при изменении пространственной системы координат, но по такому закону, что в любой из координатных систем они определяют один и тот же вектор.

Если в пространстве задан вектор А, то его компоненты А₁ определятся, если выбрана какая-то система (К) декартовых координат. В другой системе координат (К") его компо­ненты, естественно, будут другими А'_i , хотя сам вектор А остается неизменным, в том смысле, что А'_i определяют тот же самый вектор. Для того чтобы обеспечивалась неизменность вектора в этом смысле, независимость его как физической величины от выбора системы координат, необходимо, чтобы его компонен­ты менялись так же, как и координаты точки:

Некоторые геометрические объекты, а также целый ряд физических свойств, требуют для своей характеристики больше чем трех чисел (или функций). Это приводит к понятию величин, тензорные свойства ко­торых сложнее, чем у векторов и скаляров. Эти величины, тензоры 2-го ранга, не могут быть составлены в виде просто­го набора векторов или скаляров. Это — качественно новые величины, отвечающие физическому или геометрическому смыслу описываемых объектов.

Тензор 2-го ранга — физическая величина, определяемая в любой системе координат девятью числами (или функ­циями) A_ik, которые при изменении системы координат преобразуются в A'_ik по закону

Величины являются компонентами тензора 2-го ранга. Если компоненты тензора заданы в одной декартовой системе координат (A_ik), то по предыдущей формуле можно опре­делить компоненты тензора ( ) в любой другой декарто­вой системе, оси которой составляют с осями первоначаль­ной системы углы с косинусами . Если все компоненты тензора обращаются в нуль в какой-либо системе координат, то они равны нулю в любой другой системе вследствие однородности закона преобразования.

Тензор n-го ранга — физическая величина, определяемая в каждой системе декартовых координат совокупностью 3ⁿ чисел или функций А_kl... (n —число индексов), кото­рые при изменении системы координат преобразуются по закону

Сумма справа является однородной функцией (формой) степени n относительно косинусов углов .